Mathematik HTL 3, Schulbuch

177 3.4 Numerische Integration Rechtecksregel und Trapezregel Wenn von einer stetigen Funktion f: [a; b] ¥ R nur eine Wertetabelle bekannt ist oder wenn die Stammfunktion von f nicht gefunden werden kann, dann wird die Funktion numerisch integriert , indem f durch eine „einfache” Funktion g angenähert und :  a   b g(t) dt berechnet wird. Wählen wir für g eine konstante Funktion, deren Funktionswert an der Stelle   a + b _ 2  mit dem von f übereinstimmt, dann ist g: [a; b] ¥ R , t ¦ f 2    a + b _ 2    3 und :  a   b f(t) dt≈ :  a   b g(t) dt= (b – a)·f 2    a + b _ 2    3 . Wählen wir für g eine lineare Funktion, deren Funktionswerte an den Stellen a und b mit jenen von f übereinstimmen, dann ist g: [a; b] ¥ R , t ¦   f(b) – f(a) __ b – a  (t –a) + f(a) und :  a   b f(t) dt≈ :  a   b g(t) dt= (b – a)·  f(a) + f(b) __ 2  . 821 Von einer stetigen Funktion f: [0; 2] ¥ R sind die Funktionswerte f(0) =   1 _ 2 , f(1) =   3 _  4 und f(2) =   5 _ 2 bekannt. a. Berechne :  0   2 f(t) dtnäherungsweise sowohl mit der Rechtecksregel als auch mit der Trapezregel. b. Berechne dann die Fehler, falls f die Polynomfunktion mit f(x) =   3 _ 4 x 2 –   1 _ 2 x +   1 _ 2 ist. c. Zeichne den Graphen von f über dem Intervall [0; 2] und die stelle die drei berechneten Flächen graphisch dar. a. Rechtecksregel: :  0   2 f(t) dt≈ (2 – 0)·f 2    0 + 2 _ 2    3 = 2·f(1) = 2·  3 _ 4 =   3 _ 2 Trapezregel: :  0   2 f(t) dt≈ 2·  f(0) + f(2) __ 2  =   1 _ 2 +   5 _ 2 = 3 b. :  0   2 2    3 _ 4 x 2 –   1 _ 2 x +   1 _ 2   3 dx=   1 _ 4 x 3 –   1 _ 4 x 2 +   1 _ 2 x  1 0   2 = 2 – 1 + 1 – 0 = 2 Der Fehler bei der Berechnung mit der Rechtecksregel ist   1 _ 2 und bei der mit der Trapezregel 1. c. numerische Integration t y 0 f a + b 2 a + b 2 ( 1 f ( )) a a + b 2 b Rechtecksregel t y 0 f b a Trapezregel B ggb/xls/mcd 6wf6f4 ein Integral näherungsweise mit der Rechtecks- und Trapezregel berechnen t y 0 1 2 1 2 f g t y 0 1 2 1 2 f g t y 0 1 2 1 2 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv