Mathematik HTL 3, Schulbuch

176 3.4 Numerische Integration Ich lerne bestimmte Integrale mithilfe der Rechtecksregel, der Trapezregel, der Keplerschen Fassregel und der Simpson-Regel näherungsweise zu berechnen. Bei der Geschwindigkeitsbestimmung von Flugzeugen kommen sogenannte Beschleunigungs­ sensoren zum Einsatz. Diese messen in regelmäßigen Zeitabschnitten die aktuelle Beschleunigung. Wir wissen, dass man – sobald die Funktion a bekannt ist, die jedem Zeitpunkt u die aktuelle Beschleunigung a(u) zuordnet – mithilfe der Integralrechnung die Funktion v, die jedem Zeit­ punkt t die aktuelle Geschwindigkeit v(t) zuordnet, ermitteln kann. Es ist v(t) = v(0) + ​ :  0 ​  t ​ a(u) du​. Ein solcher Beschleunigungssensor liefert aber keine Zuordnungsvorschrift für a sondern nur eine Tabelle von Messwerten, also nur die Funktionswerte von a an einigen Stellen. Wie integ­ riert man aber eine Funktion, von der nur einzelne Funktionswerte bekannt sind? Betrachten wir dazu einen Auszug aus der Tabelle des Beschleunigungsmessers und ein dazu passendes Diagramm: Zeitpunkt t in s Beschleunigung a in m/s 2 0 0 1 1,5 2 5,1 3 7,3 4 8,9 Die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 4 s ist v(4) = 0 + ​ :  0 ​  4 ​ a(u) du​. Da für a die Zuordnungsvorschrift nicht bekannt ist, können wir keine Stammfunktion von a berechnen. In so einem Fall berechnen wir das Integral näherungsweise durch numerische Integration. Dazu wählen wir eine Funktion, deren Integral leicht zu berechnen ist und die an den Stellen 0, 1, 2, 3 und 4 denselben Funktionswert wie a hat. Das könnte eine Treppenfunktion, eine stückweise lineare Funktion oder eine stückweise quadratische Funktion sein. Dann berechnen wir deren Integral anstatt des Integrals von a. In diesem Kapitel werden wir diese Methoden näher kennenlernen. t[s] 0 1 2 3 4 4 8 a[ ]m s 2 Treppenfunktion (stückweise konstant) stückweise lineare Funktion stückweise quadratische Funktion  ggb hb8yn7 t[s] 0 1 2 3 4 4 8 a[ ]m s 2 t[s] 0 1 2 3 4 4 8 a[ ]m s 2 t[s] 0 1 2 3 4 4 8 a[ ]m s 2 Nur u Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv