Mathematik HTL 3, Schulbuch

175 3.3 Das bestimmte Integral 814 Berechne das bestimmte Integral. a. :  0   2 1 _  4t + 1  dt c. :  0   1 e   t _ 3 dt e. :  0     π _ 2 sin(4t) + 1dt g. :  0   2 ln(2t + 1) dt b. :  2   3 3 _  (2t + 1)  dt d. :  ‒2   3 e 2 – 3t dt f. :  0   π cos 2    t _ 2   3 + tdt h. :  ‒1   1 ln 2  1 –   t _ 2   3 dt Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kenne das bestimmte Integral von Funktionen und kann damit Flächen berechnen. 815 Die Fläche der Menge zwischen dem Intervall [‒2; 2] und dem Graphen der Funktion f mit f(x) =   1 _ 2 x 3 kann zwischen ‒2 und 2 nicht durch das Integral :  ‒2   2   1 _ 2 t 3 dtberechnet werden. a. Begründe, warum diese Fläche in diesem Fall nicht so berechnet werden kann. b. Gib eine Möglichkeit an, diese Fläche zu berechnen. Ich kenne den Zusammenhang zwischen Stammfunktionen und bestimmten Integralen und kann ihn für die Berechnung von Flächen nutzen. 816 Berechne das Integral :  ‒2   1 2    1 _ 2 t 2 – 4  3 dtund stelle die entsprechende Fläche graphisch dar. 817 Ermittle die Fläche der blauen Menge. a. b. c. Ich kann mit bestimmten Integralen Mittelwerte von Funktionen berechnen. 818 Berechne den Mittelwert der Funktion f mit f(t) = 2t 2 + t + 3 im Intervall [0; 3]. Ich kann Probleme aus Technik und Naturwissenschaft mithilfe der Integralrechnung lösen. 819 Ein Fahrzeug beschleunigt ungleichmäßig aus dem Stillstand. Nach 5 s hat es eine Geschwindigkeit von 10m/s und nach 8 s eine Geschwindigkeit von 19m/s. a. Gib eine quadratische Funktion an, die jeder Zahl t die Geschwindigkeit des Fahrzeugs in m/s nach t Sekunden zuordnet und zeichne den Graphen der Funktion. b. Ermittle die durchschnittliche Geschwindigkeit in km/h während der ersten 4 Sekunden. 820 In einer Trockenkammer wird von einem Messfühler jede Stunde die aktuelle Temperatur in Grad Celsius gemessen. In den ersten Stunden nach dem Einschalten der Heizelemente wird der Temperaturverlauf durch die Funktion f mit f(t) = 70 – 52e ‒t beschrieben. a. Zeichne den Graphen der Funktion f. b. Berechne die Durchschnittstemperatur in der Trockenkammer während der ersten 4 Stunden. B B, D B B, C x y 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 -1 1 2 3 4 5 6 - x 2 + 6 x 2 + 2x + 1 x 2 – 2x + 1 x y 0 -1 1 2 4 5 6 3 - 2 -1 1 2 3 4 5 -0,5x + 3,5 0,5x 2 – 2,5x + 1 x y 0 - 4 - 5 - 6 - 3 - 2 -1 1 2 2 1 3 4 5 6 7 0,3x 3 + 1,6x 2 – 0,1x + 0,4 - 0,06x 3 – 0,2x 2 + 0,26x + 2,2 B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv