Mathematik HTL 3, Schulbuch

174 Integralrechnung Berechnung bestimmter Integrale durch Substitution Erinnern wir uns an die Kettenregel der Differentiation: Die Zusammensetzung f ° g von zwei differenzierbaren Funktionen f und g ist differenzierbar und ihre Ableitung ist (f ° g)’ = (f’ ° g)·g’. Für alle reellen Zahlen t im Definitionsbereich von g ist also (f ° g)’(t) = f’(g(t))·g’(t), die Ableitung der ersten Funktion f an der Stelle g(t) wird also mit der Ableitung der zweiten Funktion g an der Stelle t multipliziert. Daher ist f ° g eine Stammfunktion von (f’ ° g)·g’ und :  a   b f’(g(t))·g’(t) dt= :  a   b (f ° g)’(t) dt= (f ° g)(b) – (f ° g)(b) = f(g(b)) – f(g(a)) =   :  g(a)   g(b)   f’(z) dz. Schreiben wir h für f’, dann ist :  a   b h(g(t))·g’(t) dt=   :  g(a)   g(b)   h(z) dz. Wir haben damit die „Substitutionsregel” bewiesen: Ist I ein Intervall in R , h: I ¥ R eine stetige Funktion und g: [a; b] ¥ R , eine differenzierbare Funktion, deren Bild in I enthalten ist und deren Ableitung stetig ist, dann ist   :  g(a)   g(b)   h(z) dz= :  a   b h(g(t))·g’(t) dt . Tipp Eine Merkregel dazu: „Ersetzt man im Integral   :  g(a)   g(b)   h(z) dzdas Zeichen z durch g(t), dann muss dz durch g’(t) dt ersetzt werden und die Integrationsgrenzen durch a und b.” 811 Berechne die Fläche zwischen dem Intervall 4 0;   π _ 2   5 und dem Graphen der Funktion h mit h(z) = sin(2z). Die gesuchte Fläche ist :  0     π _ 2 sin(2z) dz. Wir ersetzen z durch g(t) =   t _ 2 , dz durch   1 _ 2 dt und die Integrationsgrenzen durch 0 und π (weil g(0) = 0 und g( π ) =   π _ 2 ist) und erhalten :  0     π _ 2 h(z) dz=   1 _ 2 :  0   π sin 2 2·  t _ 2   3 dt=   1 _ 2 :  0   π sin(t) dt=   1 _ 2 (‒ cos(t) )  1 0   π =   1 _ 2 (‒ cos( π ) + cos(0)) = 1. 812 Berechne das bestimmte Integral. a. :  2   3 (2t + 1) 3 dt c. :  0   1 (‒ 3t + 4) 4 dt e. :  ‒1   2 (3t + 4) 4 dt g. :  0   4 (5t + 1) 3 dt b. :  ‒1   2 (t – 2) 2 dt d. :  2   3 2    1 _ 2 t – 1  3 3 dt f. :  ‒5   0 2 ‒   1 _ 4 t + 2  3 3 dt h. :  ‒2   1 2    1 _ 2 t – 4  3 4 dt 813 Ermittle das bestimmte Integral. a. :  1   5 e 2t dt c. :  ‒ π   0 sin 2    t _ 2   3 dt e. :  1   5 ln(2t)dt g. :  0   5 2 _  3t + 1 dt b. :  0   2 e   t _ 2 – 1 dt d. :  0     π _ 6 3cos(3t)dt f. :  1   2 t·ln(t 2 )dt h. :  –2   1 4 _  8 – 5x dt Substitutions- regel B eine Fläche durch Substitution berechnen B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv