Mathematik HTL 3, Schulbuch

173 3.3 Das bestimmte Integral 804 In einem Staat leben 10Mio. Menschen und die Bevölkerung wächst exponentiell mit 2% pro Jahr. a. Finde eine geeignete Funktion f, die jedem Zeitpunkt die Einwohnerzahl in dem Staat zu diesem Zeitpunkt zuordnet. b. Berechne, wie viele Einwohner im Durchschnitt in den nächsten 10 Jahren in diesem Staat leben werden. 805 Ein Medikament wird vom menschlichen Körper mit einer Halbwertszeit von 4 Stunden ausgeschieden. Einem Patienten wird eine Tablette mit 2g Wirkstoff verabreicht. a. Ermittle eine geeignete Funktion f, die beschreibt, wie viel Gramm des Wirkstoffes sich zu jedem Zeitpunkt nach der Einnahme noch im Körper des Patienten befinden. b. Zeichne den Graphen der Funktion f. c. Wie viel Gramm Wirkstoff waren in den ersten 4 Stunden nach der Einnahme der Tablette im Durchschnitt im Körper vorhanden? Berechne. d. Gib an, wie viel Gramm Wirkstoff im Durchschnitt in den ersten 10 Stunden nach der Einnahme im Körper vorhanden sind. 806 Der Spannungsverlauf beim Laden eines Kondensators kann durch die Funktion U mit U(t) = U 0 ·​ 2 1 – ​e​ ‒​  t _  R·C ​ ​  3 ​beschrieben werden. Dabei gibt U(t) die Spannung in Volt zum Zeitpunkt t Sekunden an. Gib die durchschnittliche Spannung an diesem Kondensator während der ersten t Sekunden an. 807 Wasser wird in einem Wasserkocher erhitzt. Dieser Erwärmungsprozess kann durch die Funktion T mit T(t) = 100 – 88·​e​ ‒​  3t _  π ​ ​ beschrieben werden, dabei ist t die Anzahl der Minuten und T(t) die Temperatur des Wassers in °C. a. Zeichne den Graphen der Funktion. b. Gib an, welche Temperatur das Wasser am Anfang des Erwärmungsprozesses hatte. c. Berechne die Temperatur des Wassers nach 3 Minuten. d. Ermittle die durchschnittliche Temperatur des Wassers während der ersten 3 Minuten. 808 Ein Gerücht verbreitet sich in einer kleinen Dorfgemeinschaft sehr schnell. Die Anzahl der Personen, die nach t Stunden von dem Gerücht wissen, kann durch die Funktion p mit p(t) = ​  800 __  1 + 799·0,25 t ​beschrieben werden. a. Zeichne den Graphen der Funktion für die ersten 10 Stunden. b. Gib an, wie viele Personen nach 5 Stunden von dem Gerücht wissen. c. Ermittle, wie viele Personen im Durchschnitt während der ersten 10 Stunden von dem Gerücht wissen. 809 Der Spannungsverlauf an einer Wechselspannungsquelle kann durch die Funktion U mit I. U(t) = 360·sin(100 π ·t),  II. U(t) = 500·sin(80 π ·t) beschrieben werden. Dabei gibt U(t) die Spannung in Volt zum Zeitpunkt t Sekunden an. a. Gib die Periodenlänge T in Sekunden, sowie die Frequenz f dieser Spannung in Hertz an. b. Unter dem Gleichrichtwert der Spannung U versteht man den durchschnittlichen Betrag der Spannung während einer Periode. Berechne den Gleichrichtwert mithilfe der Integralrechnung. 810 Ein Generator liefert eine Wechselspannung mit einer Frequenz von 100Hz und einer Spannung mit dem Gleichrichtwert von 300V. Beschreibe diesen Spannungsverlauf durch eine Funktion U mit U(t) = U 0 ·sin( ω ·t). Finde dazu zunächst ω so, dass die Funktion sin( ω ·t) die gewünschte Periodenlänge besitzt. Orientiere dich dabei an Aufgabe 809. A, B A, B A, B A, B A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv