Mathematik HTL 3, Schulbuch

171 3.3 Das bestimmte Integral 793 Ein Motorradfahrer war zwei Minuten unterwegs. Seine Geschwindigkeit zur Zeit t Minuten war ungefähr v(t) = ‒ 60·t 2 + 120t km/h. Berechne seine durchschnittliche Geschwindigkeit während der ersten Minute und während der ersten zwei Minuten. Bestimme, wie viel Kilometer der Motorradfahrer zurückgelegt hat. Die durchschnittliche Geschwindigkeit während der ersten Minute war   1 _  1 – 0 :  0   1 v(t) dt= ‒ 20t 3 + 60 t 2 1 0   1 = (‒ 20·1 3 + 60·1 2 ) – (‒ 20·0 3 + 60·0 2 ) = 40 km/h, die während der ersten zwei Minuten war   1 _  2 – 0 :  0   2 v(t) dt=   1 _ 2 (‒ 20t 3 + 60 t 2 )  1 0   2 =   1 _ 2 (‒ 20·2 3 + 60·2 2 ) –   1 _ 2 (‒ 20·0 3 + 60·0 2 ) = 40 km/h. Der Motorradfahrer hat in zwei Minuten daher 2·  40 _ 60 = 1,33 km zurückgelegt. 794 Ein Fahrzeug beschleunigt beim Start 10 s lang mit 1,5m/s 2 . a. Die Funktion v ordnet jeder Zahl t die Geschwindigkeit des Fahrzeugs in m/s nach t Sekunden zu. Bestimme v(t). b. Zeichne den Graphen dieser Funktion. c. Berechne, welche Geschwindigkeit in km/h das Fahrzeug nach 10 s erreicht hat. d. Ermittle, wie groß die durchschnittliche Geschwindigkeit während der ersten Hälfte bzw. während der zweiten Hälfte der Beschleunigung ist. 795 Die Beschleunigung eines Zeitfahrers t Sekunden nach dem Start bei einem Bahnradrennen ist annähernd a(t) = 9t 2 ·e ‒t m/s 2 . a. Berechne, zu welchem Zeitpunkt das Rennrad die maximale Beschleunigung erzielt, und gib die maximale Beschleunigung in m/s 2 an. b. Gib die Funktion v an, die jedem Zeitpunkt t die Geschwindigkeit in m/s zuordnet. Dabei soll v(0) = 0 sein. c. Gib die Funktion s an, die jedem Zeitpunkt t den bislang zurückgelegten Weg in m zuordnet. Dabei soll s(0) = 0 sein. d. Ermittle aus deinem Resultat von Aufgabe c. , wie lange der Radrennfahrer für seinen ersten Kilometer benötigt. Wie groß ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit auf dieser Strecke? 796 Ein PKW beschleunigt ungleichmäßig aus dem Stillstand. Nach 5 s hat er eine Geschwindigkeit von 9m/s und nach 10 s eine Geschwindigkeit von 22m/s. a. Beschreibe die Geschwindigkeit des PKW näherungsweise durch eine quadratische Funktion. b. Zeichne den Graphen der Funktion. c. Ermittle die durchschnittliche Geschwindigkeit in km/h während der ersten 10 Fahrsekunden. 797 Im Diagramm sind die Füllstände zweier Regenwassertonnen an zwei unterschiedlichen Tagen beschrieben (blau und rot). Diskutiert, in welcher Regentonne im Schnitt mehr Wasser war. Begründet eure Entscheidung. A, B mcd/tns jg88hs Durchschnitts- geschwindig- keit berechnen A, B A, B A, B C, D Zeit [min] Inhalt[l] 0 100 400 500 600 200 300 0 100 200 400 300 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv