Mathematik HTL 3, Schulbuch

170 Integralrechnung Beispiel: ƒ Jedem nTupel (y 1 , y 2 ,…, y n ) von reellen Zahlen kann man eine Treppenfunktion T: [0; n] ¥ R zuordnen. Wir definieren T(z) = y 1 , wenn 0 ª z < 1, T(z) = y 2 , wenn 1 ª z < 2, …, T(z) = y n – 1 , wenn n – 2 ª z < n – 1, und T(z) = y n , wenn n – 1 ª z ª n ist. Dann ist : 0 n T(u) du = y 1 + y 2 + … + y n . Dividiert man das Integral durch die Länge des Intervalls, auf dem T definiert ist, erhält man 1 _ n (y 1 + y 2 + … + y n ), das arithmetische Mittel der Zahlen y 1 , y 2 , …, y n . Das letzte Beispiel legt es nahe, das bestimmte Integral einer Funktion f: [a; b] ¥ R als Verallgemeinerung des arithmetischen Mittels zu betrachten: 1 _ b – a : a b f(t) dt ist der „mittlere Funktionswert” von f auf dem Intervall [a; b]. Man kann das präzise formulieren und zeigen: Zu jeder stetigen Funktion f: [a; b] ¥ R gibt es eine Zahl z im Intervall [a; b] so, dass gilt: 1 _ b – a : a b f(t ) dt = f(z) Dieser Funktionswert f(z) ist der mittlere Funktions- wert oder Mittelwert von f auf dem Intervall [a; b]. Wenn f im Intervall keine negativen Funktionswerte hat, dann ist die Fläche der Menge zwischen dem Intervall [a; b] und dem Graphen von f gleich der Fläche des Rechtecks mit den Eckpunkten (a 1 0), (b 1 0), (b 1 f(z)), (a 1 f(z)). 789 Berechne den Mittelwert der Funktion f mit f(t) = 1 _ 4 t 2 + 1 im Intervall [1; 5]. Der Mittelwert im Intervall [1; 5] ist 1 _ 5 – 1 : 1 5 2 1 _ 4 t 2 + 1 3 dt = 1 _ 4 2 1 _ 4 · t 3 _ 3 + t 1 1 5 3 = 1 _ 4 2 1 _ 4 · 5 3 _ 3 + 5 3 – 1 _ 4 2 1 _ 4 · 1 3 _ 3 + 1 3 = 43 _ 12 = 3,58. 790 Ermittle den Mittelwert der Polynomfunktion f im gegebenen Intervall. a. f(x) = 1 _ 2 x 2 + 1 _ 4 ; [0; 4] c. f(x) = x 3 + 2x; [0; 8] e. f(x) = 1 _ 3 x 3 – 2x 2 + x + 15; [‒1; 5] b. f(x) = ‒ 1 _ 4 x 2 + 8; [1; 3] d. f(x) = ‒ x 2 + 4; [0; 4] f. f(x) = 1 _ 4 x 3 – x 2 + x + 5; [‒ 2; 3] 791 Finde für die Funktion f ein Rechteck mit dem gegebenen Intervall als Grundseite, dessen Fläche gleich der Fläche zwischen dem gegebenen Intervall und dem Graphen der Funktion ist. a. f(t) = 1 _ 4 t 2 + 2; [0; 5] c. f(t) = e t ; [0; 1] e. f(t) = ln(t); [2; 5] b. f(t) = ‒ 1 _ 2 t 2 + 5; [‒1; 2] d. f(t) = 1 _ 10 e 2t ; [‒ 2; 2] f. f(t) = t·ln(t); [1; 6] 792 Berechne den Mittelwert der periodischen Funktion in einer Periode. a. a mit a(x) = sin(x) c. c mit c(x) = sin(x) + 1 e. e mit e(x) = sin(x) + cos 2 x _ 2 3 b. b mit b(x) = cos(x) d. d mit d(x) = cos(2x) – 2 f. f mit f(x) = 2sin 2 x _ 2 3 + 3cos(x) + 1 ggb w9s8iv u y 0 1 2 3 4 5 6 7 Mittelwertsatz der Integral- rechnung t y 0 0,5 1 1,5 1 1,5 - 0,5 b a z f Mittelwert einer Funktion auf [a; b] B Mittelwert einer Funktion in einem Intervall berechnen ggb/tns s8y9tu B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv