Mathematik HTL 3, Schulbuch

17 1.1 Grenzwerte von Folgen 33 Prüfe, ob die Folge konvergent ist und berechne in diesem Fall ihren Grenzwert. a. k    3n 2 + n __  n 2 + 2n + 1 l b. k    n 2 – n + 4 __  n 3 + n 2 l c. k    7n 3 – 3n 2 + n – 1 ___ 2n 3 + 4n 2 + n + 1   l d. k    5n 3 – n 2 __ 5n 2 – n   l 34 Entscheide, ob die Folge konvergiert und berechne gegebenenfalls ihren Grenzwert. a. k 1,7 n l b. k  2    1 _ 6   3 n   l c. k    8 – 0,9 n _  2 +   1 _  2n   l d. k    6n 3 – 5n 2 + 7 __ n 3 + 5n – 2   l 35 Stelle mithilfe einer DGS oder eines CAS den Graphen der Folge dar. Berechne, wenn die Folge konvergent ist, den Grenzwert. a. k    n 2 + 2 _  2n 2 – 1   l b. k      1 _ 2 n 2 + n __  n 2 + n – 1   l c. k    n 3 + 1 _ n 2 – 1   l d. k    2n 3 + n _ n 4 – 2n   l 36 Ermittle den Grenzwert b der Folge k b n l und berechne, ab welchem Index m der Abstand † b – b n † für alle n º m kleiner ε ist. a. b n =   1 _  2 n ; ε = 0,001 b. b n =   4n + 3 _ n  ; ε = 0,01 c. b n =   2n 2 – 3n + 1 __ n 2 + 5 ; ε =   1 _  2000 37 Berechne mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms die ersten 30 Glieder der Folge und gib an, ab welchem Index n die Glieder kleiner als ε sind. a. k    n _  n 2 + 1   l ; ε =   1 _  15 b. k    n + 1 __  n 4 + n 3 + n 2   l ; ε =   1 _  1000 c.   n + 5 __  2n 2 + n + 1 ; ε =   1 _ 2 38 Gib jeweils eine monoton wachsende und eine monoton fallende Folge an, die gegen die Zahl 7 konvergieren. 39 Gibt es eine alternierende Folge, die gegen die Zahl 12 konvergiert? Begründe. Rekursiv definierte Folgen Eine Folge wird rekursiv definiert , wenn wir die ersten Folgenglieder angeben und die weiteren Folgenglieder mithilfe der Folgenglieder mit kleinerem Index definieren. Beispiele: � f 0 = 3 und f n + 1 =   1 _ 2 ·f n definiert die geometrische Folge mit Anfangsglied 3 und Quotient   1 _ 2 . � Die FibonacciFolge k f n l wird rekursiv durch f 0 = 0, f 1 = 1 und für alle natürlichen Zahlen n ist f n + 2 = f n + 1 + f n definiert. Wir können dann etwa f 5 „rekursiv“ berechnen: f 5 = f 4 + f 3 = (f 3 + f 2 ) + (f 2 + f 1 ) = f 3 + 2f 2 + f 1 = = (f 2 + f 1 ) + 2(f 1 + f 0 ) + f 1 = (f 1 + f 0 ) + 4f 1 + 2f 0 = 5 40 Finde die ersten fünf Glieder der rekursiv definierten Folge a n + 1 =   1 _ 2 a n + 3 mit a 0 = 8. a 0 = 8 a 1 =   1 _ 2 8 + 3 = 7 a 2 =   1 _ 2 7 + 3 = 6,5 a 3 =   1 _ 2 6,5 + 3 = 6,25 a 4 =   1 _ 2 6,25 + 3 = 6,125 41 Gib die ersten fünf Glieder der rekursiv definierten Folge an. a. a n + 1 =   1 _ 2 a n ; a 0 = 8 c. a n + 1 = a n 2 ; a 0 = 2 b. a n + 1 = 2a n – 1; a 0 = 5 d. a n + 1 =   a n + 1 _ a n ; a 0 = 1 B B B B B A D ggb hq6a8j rekursiv definierte Folge B die Folgen glieder einer rekursiv definierten Folge berechnen xls/mcd 9xt6gq B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv