Mathematik HTL 3, Schulbuch

169 3.3 Das bestimmte Integral Das bestimmte Integral als Mittelwert Wir haben das bestimmte Integral nur für stetige Funktionen, die auf einem abgeschlossenen Intervall definiert sind, definiert. Wir erweitern diese Definition nun auf weitere, für die Anwen dungen bedeutsame Funktionen, die nicht an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetig sind. Eine auf einem offenen Intervall (a; b) mit a < b definierte stetige Funktion f: (a; b) ¥ R kann man stetig auf das abgeschlossene Intervall [a; b] fortsetzen , wenn es eine stetige Funktion g: [a; b] ¥ R gibt so, dass für alle t mit a < t < b gilt: f(t) = g(t). Weil g stetig ist, folgt: Für jede Folge k z n l in (a; b), die gegen a konvergiert, muss die Folge k g(z n ) l = k f(z n ) l gegen g(a) konvergieren, das heißt g(a) = lim  n ¥ • f(z n ) sein. Somit ist g durch f eindeutig bestimmt. Wir definieren dann :  a   b f(t) dt= :  a   b g(t) dt. Für eine Funktion f: [a; b] ¥ R für die es reelle Zahlen c 0 = a < c 1 < c 2 < … < c n = b gibt so, dass f auf jedem der offenen Intervalle (c 0 ; c 1 ), (c 1 ; c 2 ),… , (c n – 1 ; c n ) stetig ist und auf [c 0 ; c 1 ], [c 1 ; c 2 ], …, [c n – 1 ; c n ] stetig fortgesetzt werden kann, definieren wir das bestimmte Integral :  a   b f(t) dt= ;  i = 0   n – 1   :  c i   c i + 1   f(t) dt . Beispiele: Die Vorzeichenfunktion, die jeder positiven reellen Zahl die Zahl 1 und jeder negativen reellen Zahl die Zahl ‒1 zuordnet, ist auf R \ {0} stetig. Sie kann zum Beispiel vom Intervall (‒10; 0) auf das Intervall [‒10; 0] stetig fortgesetzt werden. Jeder Zahl in diesem Intervall wird ‒1 zugeordnet. Ebenso kann sie vom Intervall (0; 10) auf das Intervall [0; 10] stetig fortgesetzt werden. Jeder Zahl in diesem Intervall wird +1 zugeordnet. Die Funktion f: (0; 1) ¥ R mit f(t) =   1 _ t  kann auf [0; 1] nicht stetig fortgesetzt werden. Das Bild unter f der Folge k    1 _ n   l , die gegen 0 konvergiert, ist die Folge k n l , diese konvergiert nicht. Wäre g eine stetige Funktion, die f auf [0; 1] fortsetzt, dann müsste die Folge k n l aber gegen die reelle Zahl g(0) konvergieren. Also gibt es keine solche Funktion. Eine Funktion T: [a; b] ¥ R ist eine Treppenfunktion auf [a; b], wenn es reelle Zahlen c 0 = a < c 1 < c 2 < … < c n = b gibt, sodass T auf jedem der offenen Intervallen (c 0 ; c 1 ), (c 1 ; c 2 ), …, (c n – 1 ; c n ) eine konstante Funktion ist. Wir wählen in jedem Intervall (c i , c i + 1 ) eine Zahl z i + 1 . Das Integral von T von a bis b ist dann :  a   b T(u) du= (c 1 – c 0 )·T(z 1 ) + (c 2 – c 1 )·T(z 2 ) + + … + (c n – c n – 1 )·T(z n ). stetig fortsetzen bestimmtes Integral einer stetig fortsetzbaren Funktion x y 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 2 -1 1 2 t y 0 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 3 - 2 -1 1 2 3 Treppen funktion u y c 3 c 1 c 2 b a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv