Mathematik HTL 3, Schulbuch

168 Integralrechnung 784 Ein PKW erreicht auf trockenem Asphalt eine Bremsverzögerung von 7m/s 2 . Das bedeutet, dass seine Geschwindigkeit pro Sekunde um 7m/s reduziert wird. Ein PKW fährt mit 90 km/h, als er zum Zeitpunkt t = 0 zu bremsen beginnt. a. Gib die Funktion v an, die jedem Zeitpunkt t während des Bremsvorgangs die aktuelle Geschwindigkeit (im m/s) zuordnet. b. Berechne, wie lange es dauert, bis der PKW zum Stillstand kommt. c. Ermittle mithilfe der Integralrechnung die Länge des Bremsweges. a. 90 km/h = 25m/s, denn ​  90 _ 3,6 ​= 25. Für t º 0 ist v(t) = 25 – 7t. b. Der PKW kommt zur Zeit t zum Stillstand, wenn v(t) = 0 ist. Daraus erhalten wir t = ​  25 _ 7  ​≈ 3,6 s. c. Die Geschwindigkeit ist als Ableitung des Weges definiert, daher berechnen wir ​ :  0 ​  ​  25 _ 7  ​ ​ (25 – 7t) dt​= 25t – ​  7t 2 _ 2  ​ ​ 1 ​ 0 ​  ​  25 _ 7  ​ ​= 44,64. Der Bremsweg beträgt 44,64m. 785 Ein PKW fährt mit 108 km/h auf einer regennassen Autobahn. Als vor ihm ein Hindernis auftaucht, bremst er mit einer Bremsverzögerung von 6m/s 2 . a. Gib die Funktion v an, die jedem Zeitpunkt t während des Bremsvorgangs die aktuelle Geschwindigkeit (im m/s) zuordnet. b. Berechne, wie lange es dauert, bis der PKW zum Stillstand kommt. c. Ermittle mithilfe der Integralrechnung die Länge des Bremsweges. d. Bestimme wie lange der tatsächliche Anhalteweg ist, wenn man annimmt, dass der PKW während der Reaktionszeit des Fahrers noch eine Sekunde lang mit unveränderter Geschwindigkeit weiterfährt, bevor der tatsächliche Bremsvorgang einsetzt. 786 Straßenbahnen erreichen bei trockenem Wetter eine Bremsverzögerung von 2,5m/s 2 . Eine Straßenbahn bremst bei einer Ausgangsgeschwindigkeit von 36km/h. a. Gib die Funktion v an, die jedem Zeitpunkt t während des Bremsvorgangs die aktuelle Geschwindigkeit der Straßenbahn (im m/s) zuordnet. b. Berechne, wie lange es dauert, bis die Straßenbahn zum Stillstand kommt. c. Ermittle mithilfe der Integralrechnung die Länge des Bremsweges. 787 Ein PKW fährt mit der Geschwindigkeit v auf einer trockenen Fahrbahn und bremst mit einer Bremsverzögerung von 7m/s 2 . Nimm an, dass v  I. in m/s,  II. in km/h angegeben wird. a. Berechne, wie lange es dauert, bis der PKW zum Stillstand kommt. b. Ermittle mithilfe der Integralrechnung die Funktion b, die jeder Anfangsgeschwindigkeit v den Bremsweg bei dieser Geschwindigkeit in Meter zuordnet. c. Zeichne den Graphen der Funktion b für Geschwindigkeiten  I. bis 40m/s  II. bis 144 km/h. 788 Ein Leichtathlet tritt im 100mSprint gegen einen Kleinwagen an. Wir nehmen an, dass der Leichtathlet mit einer konstanten Geschwindigkeit von 10m/s läuft und der Kleinwagen innerhalb von 10 Sekunden gleichmäßig von 0 km/h auf 100 km/h beschleunigt. a. Gib die Beschleunigung des Kleinwagens in m/s 2 an. b. Finde durch Integrieren die Funktion s, die der Zahl t den vom Kleinwagen innerhalb von t Sekunden nach dem Start zurückgelegten Weg s(t) zuordnet. c. Ermittle die Zeit des Siegers dieses Wettrennens und berechne, wie viel Meter der Zweitplatzierte zu diesem Zeitpunkt noch vom Ziel entfernt ist. A, B den Bremsweg berechnen A, B A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv