Mathematik HTL 3, Schulbuch

167 3.3 Das bestimmte Integral 778 Gegeben ist die Polynomfunktion f mit f(x) = ​  1 _  45 ​(‒ 2x 3 – 5x 2 + 48x + 135). a. Ermittle die Tangente von f an der Stelle 3. b. Zeichne den Graphen sowie die in Aufgabe a. ermittelte Tangente in ein Koordinatensystem. c. Der Funktionsgraph, die in Aufgabe a. ermittelte Tangente und die xAchse schließen eine Menge ein. Berechne deren Fläche. 779 Gegeben ist die Polynomfunktion f mit f(x) = ​  1 _ 8 ​(x 3 – 4x 2 – 7x + 34). a. Berechne alle Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und Wendetangenten der Funktion f. b. Ermittle die Gleichung der Tangente von f an der Stelle ‒1. c. Zeichne den Graphen der Funktion über dem Intervall [‒3; 6]. Trage auch die in den Aufgaben a. und b. erhaltenen Resultate in die Grafik ein. d. Bestimme die Fläche der vom Graphen von f und der Tangente eingeschlossenen Menge. (Siehe dazu die in Aufgabe c. erstellte Zeichnung.) e. Berechne die Fläche der vom Graphen von f, von der Tangente und von der xAchse eingeschlossenen Menge. 780 Ermittle die Fläche der Menge, die vom Graphen von f mit f(t) = ‒ ​  1 _ 4 ​t 2 + 2 und den Tangenten von f an den Stellen ‒1,5 und 1,5 eingeschlossen wird. 781 Arbeite mit einer DGS und zeichne den Graphen der quadratischen Funktion f mit f(x) = ‒ ​  1 _ 4 ​x 2 + 2. a. Wähle dann zwei Punkte auf dem Graphen, die symmetrisch zur yAchse liegen. b. Zeichne die Tangenten in beiden Punkten. c. Berechne nun die Fläche der Menge, die zwischen den Tangenten und dem Graphen der quadratischen Funktion liegt. d. Wo müssen die beiden Punkte gewählt werden, damit die Fläche aus Aufgabe c. halb so groß ist, wie die Fläche der Menge, die unterhalb des Graphen zwischen den beiden gewählten Punkte liegt? Ermittle diese Punkte näherungsweise durch Verschieben der Punkte auf dem Graphen. e. Interpretiere das Ergebnis aus Aufgabe d. Gib dann an, wie man die gesuchten Punkte auch rechnerisch ermitteln kann. 782 Gegeben ist die Polynomfunktion f mit Grad 4 mit f(x) = 0,04x 4 – 0,32x 3 + 3,2x – 0,6. a. Berechne die beiden Wendepunkte dieser Funktion. b. Ermittle die Gleichung der Geraden g, die durch die beiden Wendepunkte geht. c. Neben den beiden Wendepunkten schneidet die Gerade g den Graphen von f noch in zwei weiteren Punkten. Berechne die Koordinaten dieser Schnittpunkte. d. Stelle den Graphen von f und die Gerade g graphisch dar. e. Der Graph von f und die Gerade g schließen drei Mengen ein. Berechne deren Flächen. 783 a. Erstelle mithilfe einer DGS den Graphen der Funktion f mit f(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e so, dass die Koeffizienten a, b, c, d und e mithilfe von Schiebereglern beliebig verändert werden können. Bringe die Schieberegler anschließend in eine Position, in der insgesamt drei Extremwerte zu erkennen sind. b. Ermittle die Wendepunkte dieser Funktion und zeichne sie in den Graphen ein. c. Lege eine Gerade g durch die beiden Wendepunkte und ermittle sämtliche Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Graphen von f. d. Der Graph von f und die Gerade g schließen drei Mengen ein. Dokumentiere anhand einiger Beispiele, dass die beiden äußeren Mengen stets die gleiche Fläche besitzen und die mittlere Fläche so groß ist, wie die beiden äußeren Flächen zusammen. B B B B, C B B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv