Mathematik HTL 3, Schulbuch

166 Integralrechnung 775 Neben einer Autobahn soll ein Lärm schutzwall aufgeschüttet werden, dessen Querschnittsprofil in der Zeichnung dargestellt ist. Die Längen­ einheit im Koordinatensystem ist dabei Meter. Das Querschnittsprofil wird dabei vom Graphen der Polynom­ funktion f mit f(x) = ‒ ​  x 3 _  9 ​– ​  4x 2 _ 3  ​– 4x über dem Intervall [‒ 6; 0] erzeugt. a. Berechne die Höhe des Lärmschutz­ walls. b. Ermittle die Breite des Lärmschutzwalls in einer Höhe von 2m. c. Berechne die Querschnittsfläche des Lärmschutzwalls. d. Ermittle, wie viel Kubikmeter Erde erforderlich sind, um diesen Lärmschutzwall auf einer Länge von 800m aufzuschütten. 776 An den Graphen Polynomfunktion f mit f(x) = ‒ ​  x 2 _  4 ​– x + 8 ist an der Stelle 2 die Tangente zu legen. Als Längeneinheit wählen wir 1 cm. a. Ermittle die Tangentengleichung. Zeichne den Graphen und die Tangente über dem Intervall [‒1; 5]. b. Berechne die Fläche der Menge, die der Graph von f, die Tangente und die xAchse einschließen. a. Die Ableitung von f ist f’ mit f’(x) = ‒ ​  x _  2 ​– 1. Es ist f(2) = 5 und f’(2) = ‒ 2. Die Tangente an der Stelle 2 ist die Gerade mit Steigung ‒ 2 durch den Punkt (2 1 5), ihre Gleichung ist daher 2x + y = 2·2 + 5 = 9, also 2x + y = 9. b. Der Schnittpunkt der Tangente mit der xAchse ist (4,5 1 0). Der Schnittpunkte des Graphen von f mit der xAchse ist der Punkt (a 1 0), wobei a eine Nullstelle von f ist. Die Nullstellen von f sind ‒8 und 4, der von uns gesuchte Schnittpunkt des Graphen von f mit der xAchse ist daher (4 1 0). Die gesuchte Fläche A ist die Differenz der Fläche A tan der Menge zwischen dem Intervall [2; 4,5] und der Tangente und der Fläche A f der Menge über dem Intervall [2; 4] und unter dem Graphen von f. A tan = ​ :  2 ​  4,5 ​ (‒ 2t + 9) dt​= ​ ​ ‒ t 2 + 9t  1 ​ 2 ​  4,5 ​= 20,25 – 14 = 6,25 A f = ​ :  2 ​  4 ​ 2  ‒ ​  t 2 _ 4 ​– t + 8  3 ​dt​= ​ ​ ‒ ​  t 3 _ 12 ​– ​  t 2 _ 2 ​+ 8t  1 ​ 2 ​  4 ​≈ 18,66 – 13,33 = 5,33 A = A tan – A f = 6,25 – 5,33 = 0,92 777 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 0,1x 3 – 2,025x. a. Ermittle die Tangente an den Graphen von f an der Stelle ‒3. b. Zeichen den Graphen von f sowie die in Aufgabe a. ermittelte Tangente. c. Der Funktionsgraph, die in Aufgabe a. ermittelte Tangente sowie die xAchse schließen eine Menge ein. Schraffiere diese Menge in deiner Zeichnung und berechne ihre Fläche. A, B x y 0 1 -1 2 4 3 3 2 1 - 3 - 2 - 4 - 5 - 7 - 6 - 1 Lärmschutzwall Autobahn B die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und seiner Tangente berechnen  ggb/mcd/tns 46c76f x y 0 -1 1 2 4 5 3 - 2 2 4 8 10 6 (2 1 5) f t B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv