Mathematik HTL 3, Schulbuch

165 3.3 Das bestimmte Integral 766 Die Graphen der Funktion f mit f(x) = sin(x) + x und der Polynomfunktion g mit g(x) = x 3 + x 2 – x – 1 schließen zwei Mengen ein. Fertige eine Skizze an und berechne die Summe der Flächen der zwei Mengen. 767 Berechne die Fläche der Menge, die von den Graphen der Funktionen f und g mit f(z) = z 2 und g(z) = ​ 9 _ z​eingeschlossen wird. 768 Die Funktion g ist gegeben durch g(z) = a·(1 – z 2 ), wobei a eine beliebige positive reelle Zahl ist. Berechne, für welche Zahl a die Fläche der Menge, die vom Graphen von g und der ersten Koordinatenachse eingeschlossenen wird, genau 4 beträgt. 769 Die Funktion f ist gegeben durch f(x) = ‒ x 2 + c, wobei c eine beliebige positive reelle Zahl ist. Berechne, für welche Zahl c die Fläche der Menge, die vom Graphen von f und der xAchse eingeschlossenen wird, genau 20 beträgt. 770 Die Fläche der Menge, die von den Graphen der beiden Funktionen f mit f(t) = sin(t) und g mit g(t) = ‒ sin(t) im Intervall [‒ π ; π ] eingeschlossen wird, kann nicht durch das Integral ​ :  ‒ π ​  π ​ (f(t) – g(t)) dt​berechnet werden. a. Begründe, warum die Fläche in diesem Fall so nicht berechnet werden kann. b. Gib eine Möglichkeit an, die Fläche der Menge zwischen den Graphen dieser Funktionen zu berechnen. Dokumentiere dabei die Vorgehensweise. 771 Berechne die Fläche der dargestellten Menge mithilfe der Integralrechnung. a. b. c. d. 772 Teile die Menge zwischen dem Graphen der Funktion f mit f(x) = x 2 und dem Intervall [1; 4] durch eine zur xAchse normal stehende Gerade in zwei Teile mit gleicher Fläche. Berechne, wo diese Gerade die xAchse schneidet. 773 Teile die Menge zwischen dem Graphen von f mit f(x) = 2 – ​  1 _ 2 ​x 2 und der xAchse durch eine zur xAchse parallele Gerade in zwei Mengen gleicher Fläche. Gib an, wo diese Gerade die yAchse schneidet. 774 Der Querschnitt eines Bachbetts hat ungefähr die Form einer Parabel. Es ist 6m breit und kann im Intervall [‒3; 3] durch den Graphen der quadratischen Funktion f mit f(a) = ​  2 _ 9 ​a 2 – 2 beschrieben werden. Dabei bedeutet f(a) die Tiefe des Bachbettes im Querschnitt an der a Meter von der Mitte des Bachbettes entfernten Stelle. a. Fertige eine Skizze an. b. Das Wasser steht 1,20m hoch im Bachbett. Zeichne die Wasserlinie im Diagramm ein. c. Wie breit ist der Bach an der Wasserlinie? Berechne. d. Ermittle, wie viel Liter Wasser der Bach auf einer Länge von 100m führt, wenn der Querschnitt des Bachbettes immer gleich bleibt und das Wasser überall gleich hoch steht. B B B B A, C, D A, B x y 0 - 3 - 2 -1 2 1 3 - 2 -1 1 2 3 4 x 2 1 2 - x 2 + 3 1 2 x y 0 - 3 - 2 -1 2 1 3 - 2 -1 1 2 3 4 x 2 1 2 - x 2 + 3 1 2 x y 0 - 3 - 2 -1 2 1 3 -1 1 2 3 4 6 5 √x x 2 x + y = 2 x y 0 - 3 - 2 -1 2 1 3 -1 1 2 3 4 6 5 x 2 x 2 – 3x + 4,5 1 2 x 2 + 3x + 4,5 1 2 B  ggb 7q9ax3 B  ggb if997m A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv