Mathematik HTL 3, Schulbuch

162 Integralrechnung 749 Finde eine Funktion, deren Graph dem gezeichneten gut entspricht. Berechne dann die Fläche mithilfe eines bestimmten Integrals. a. b. c. d. 750 Berechne das Integral und stelle es als Fläche graphisch dar. a. :  ‒1   3 2    1 _ 4 x 2 + 1  3 dx b. :  1   4 2    1 _ 3 x – 3  3 dx c. :  1   2   1 _ 2 sin(x) dx d. :  ‒2   3 cos(x) + 1 dx 751 Ein Gelände, dessen Verlauf im Intervall [0; 50] durch die Funktion f mit f(t) =   1 _  500  t 3 –   4 _  25 t 2 + 3t beschrieben werden kann, soll eingeebnet werden. a. Zeichne den Graphen der Funktion. Schätze, wie hoch das eingeebnete Gelände sein wird. b. Berechne, wie hoch das eingeebnete Gelände ist, und vergleiche das Ergebnis mit der Schätzung aus Aufgabe a. Trage die neue Niveaulinie des Geländes in die Zeichnung ein. c. Überprüfe, ob die Bereiche, die oberhalb der Niveaulinie lagen, genau jene Bereiche auffüllen, die unterhalb der Niveaulinie ursprünglich nicht gefüllt waren. 752 Mit M bezeichnen wir die Menge zwischen dem Intervall [‒2 π ; 2 π ] und dem Graphen der Funktion f mit f(t) = t·sin(t). a. Zeichne den Graphen der Funktion f und kennzeichne die Menge M. b. Berechne die Fläche von M. c. Nenne noch eine Möglichkeit, die Fläche mit dem Integral und der Symmetrie zu berechnen. 753 Mit M bezeichnen wir die Menge zwischen dem Intervall [0; 2 π ] und dem Graphen der Funktion f mit f(t) = e   t _ 2 cos(2t). a. Zeichne den Graphen der Funktion f und kennzeichne die Menge M. b. Bestimme die Fläche von M. 754 Berechne die Fläche A der Menge, die von den Graphen der Polynomfunktionen f mit f(x) = x 3 + x 2 – 6x – 2 und g mit g(x) = x 2 – 2x – 2 eingeschlossen wird. Wir lösen die Gleichung x 3 + x 2 – 6x – 2 = x 2 – 2x – 2 und erhalten durch Äquivalenzumformungen x(x 2 – 4) = 0, also sind die Schnittstellen ‒ 2, 0 und 2. Die gesuchte Menge zerfällt in zwei Teile, deren Flächen wir getrennt berechnen. A 1 = |    :  ‒2   0 (f(x) – g(x)) dx  | = |    :  ‒2   0 (x 3 – 4x) dx  | = = |  2    x 4 _  4 – 2x 2 3 1 ‒2   0   | = † 0 – 4 † = 4 A 2 = |  :  0   2 (f(x) – g(x)) dx  | = |  :  0   2 (x 3 – 4x) dx  | = = |  2    x 4 _  4 – 2x 2 3 1 0   2   | = 4 – 0 = 4 Daher ist A = A 1 + A 2 = 8 die gesuchte Fläche. A, B x y 0 - 3 - 2 -1 2 1 3 - 2 -1 - 3 1 2 3 x y 0 - 3 - 2 -1 2 1 3 - 2 -1 1 2 3 4 x y 0 - 3 - 2 -1 2 1 3 - 2 -1 - 3 1 2 3 x y 0 - 6 - 4 - 2 42 6 - 4 - 2 - 6 2 4 6 A, B B, C, D A, B A, B B ggb/mcd/tns 43em7z die Fläche einer Menge berechnen, die von zwei Funktions graphen eingeschlossen wird x y 0 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 - 4 - 3 - 2 -1 1 2 3 - 5 - 6 5 6 4 A 1 A 2 g f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv