Mathematik HTL 3, Schulbuch

161 3.3 Das bestimmte Integral 743 Ermittle eine Zahl a so, dass die Behauptung richtig ist. a.   1 _ 2 :  0   2 x 2 dx = :  0   a x 2 dx c. 0,1 :  0   5 e x dx = :  0   a e x dx e.   1 _  9 _ 2 · :  0   a cos(t) dt= :  0     π _ 4 cos(t) dt b.   1 _ 3 :  0   3 x 3 dx = :  0   a x 3 dx d.   1 _ π :  0   π sin(x) dx = :  0   a sin(x) dx f. :  0   a t dt= :  0   1 1 + t 2 dt 744 Wählt eine quadratische Funktion f und ein beliebiges Intervall [a; b]. Findet dann für n = 2, 3, 4, 5 jeweils eine Zahl c so, dass gilt: :  a   b f(t) dt= n :  a   c f(t) dt 745 Berechne die Fläche der vom Graphen der Polynomfunktion f mit f(x) =   x 3 _  2 – x 2 –   5x _ 2  + 3 und der xAchse eingeschlossenen Menge. Stelle diese dazu graphisch dar. Zunächst berechnen wir mit einem CAS die Nullstellen von f mit ‒2, 1 und 3. Um den Graphen von f zu zeichnen, berechnen wir entweder noch die Extremstellen und eine Wertetabelle, oder wir verwenden eine geeignete Software. Die Menge zerfällt in zwei Teilmengen, die gesuchte Fläche ist die Summe der zwei Teilflächen, die wir nun berechnen. A 1 = :  ‒2   1 2    x 3 _  2 – x 2 –   5x _ 2  + 3  3 dt=   x 4 _ 8  –   x 3 _  3 –   5x 2 _ 4  + 3x  1 ‒2   1 = =   37 _  24 +   19 _ 3  =   63 _ 8  = 7,88 A 2 = |  :  1   3 2    x 3 _  2 – x 2 –   5x _ 2  + 3  3 dt  | = |    x 4 _  8 –   x 3 _  3 –   5x 2 _ 4  + 3 x  1 1   3   | = = |  ‒   9 _ 8 –   37 _ 24   | =   8 _ 3 = 2,67 A = A 1 + A 2 = 10,55. 746 Betrachte das bestimmte Integral :  ‒2   2   1 _ 9 x 3 dx. a. Skizziere den Graphen der Polynomfunktion f mit f(x) =   1 _ 9 x 3 und stelle das Integral graphisch dar. b. Überlege, wie die Fläche der Menge zwischen dem Graphen der Funktion und der xAchse durch Integralrechnung berechnet werden kann, und führe diese Berechnung durch. c. Dokumentiere und interpretiere das Ergebnis. d. Ermittle mithilfe der Überlegungen aus Aufgabe b. die Fläche der Menge zwischen der xAchse und dem Graphen der Polynomfunktion g mit g(x) = x 3 – 4x zwischen ‒2 und 2. 747 Betrachte die Fläche der Menge zwischen dem Intervall 4 ‒   π _ 4 ;   π _ 4   5 und dem Graphen der Sinusfunktion. a. Begründe, warum sie nicht durch das Integral :  ‒  π _  4     π _  4 sin(x) dxberechnet werden kann. b. Gib eine Möglichkeit an, die Fläche zu berechnen. Dokumentiere dabei die Vorgehensweise. 748 Berechne die Fläche der vom Graphen der Polynomfunktion f und der xAchse eingeschlossenen Menge. a. f(x) = ‒ x 2 – 2x + 15 b. f(x) = x 3 – 2x 2 – 8x c. f(x) = x 3 + 8x 2 + 17x + 10 B B B eine Fläche berechnen ggb/mcd/tns fx3t7g x y 0 - 3 - 2 -1 1 2 4 3 - 3 - 2 -1 1 2 3 4 A 1 A 2 A, B, C C, D A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv