Mathematik HTL 3, Schulbuch

16 Konvergente Folgen und stetige Funktionen 28 Zeige, dass die Folge k  2 – 3· 2    1 _ 3   3 n + 5· 2    1 _ 4   3 2n   l konvergent ist und berechne ihren Grenzwert. Wir schreiben die Folge k  2 – 3· 2    1 _ 3   3 n + 5· 2    1 _ 4   3 2n   l als Linearkombination von bekannten Folgen: k  2 – 3· 2    1 _ 3   3 n + 5· 2    1 _ 4   3 2n   l = k 2 l – 3· k  2    1 _ 3   3 n   l + 5· k  2    1 _ 4   3 2n   l = k 2 l – 3· k  2    1 _ 3   3 n   l + 5· k  2    1 _  16   3 n   l . Die Folge k 2 l konvergiert gegen 2, die Folgen k  2    1 _ 3   3 n   l und k  2    1 _  16   3 n   l konvergieren gegen 0. Daher konvergieren auch deren Vielfache 3· k  2    1 _ 3   3 n   l und 5· k  2    1 _  16   3 n   l gegen 0. Somit konvergiert die Summe k 2 l – 3· k  2    1 _  3   3 n   l + 5· k  2    1 _ 4   3 2n   l = k  2 – 3· 2    1 _ 3   3 n + 5· 2    1 _ 4   3 2n   l gegen 2 – 0 + 0 = 2, kurz: lim    n ¥• 2  2 – 3· 2    1 _ 3   3 n + 5· 2    1 _ 4   3 2n   3 = 2 29 Überprüfe, ob die Folge konvergiert und, wenn ja, berechne ihren Grenzwert. a. k 1 +   1 _  n l b. k    5 _ n   l c. k  2 – 2    1 _ 2   3 n   l d. k  1 +   2 _ 3 n   l 30 Stelle einen Teil des Graphen der Folge dar und überlege, ob die Folge konvergent ist und welchen Grenzwert sie gegebenenfalls hat. a. k    1 _ n   l b. k  2 +   n _  2 l c. k  2 +   n _  2 n   l d. k    2n 2 + n + 1 __ n 2   l 31 Welche der Aussagen sind richtig? Begründe. A Wenn zwei Folgen konvergent sind, dann ist auch ihre Summe konvergent. B Für jede konvergente Folge ist der Grenzwert eines Vielfachen der Folge gleich dem Grenzwert der Folge. C Das Produkt der Grenzwerte von zwei konvergenten Folgen ist gleich dem Grenzwert des Produkts der beiden Folgen. D Wenn zwei Folgen f und g konvergent sind und der Grenzwert von g gleich 0 ist, dann ist der Quotient   f _ g divergent. 32 Zeige, dass die Folge k    2n 3 + 3n – 4 __  n 3 + n 2 + 5n l konvergent ist und berechne ihren Grenzwert. Dabei beginnen wir bei der Folge mit n = 1 (weil der Quotient für n = 0 nicht existiert). Wir schreiben   2n 3 + 3n – 4 __ n 3 + n 2 + 5n als Quotient von   2n 3 + 3n – 4 __ n 3 und   n 3 + n 2 + 5n __ n 3 . Wegen   2n 3 + 3n – 4 __ n 3 = 2 +   3 _  n 2 –   4 _  n 3 ist lim    n ¥•   2n 3 + 3n – 4 __  n 3 = lim    n ¥• 2 + 3 lim    n ¥•   1 _  n 2 – 4 lim  n ¥•   1 _  n 3 = 2 + 0 + 0 = 2. Ebenso berechnet man lim   n ¥•   n 3 + n 2 + 5n __ n 3 = 1. Die Folgenglieder der Folge k    n 3 + n 2 + 5n __ n 3   l sind für n > 0 nicht 0 und auch ihr Grenzwert ist nicht 0. Da die Folge k    2n 3 + 3n – 4 __  n 3 + n 2 + 5n l der Quotient der konvergenten Folgen k    2n 3 + 3n – 4 __ n 3   l und k    n 3 + n 2 + 5n __ n 3   l ist, ist sie auch konvergent und ihr Grenzwert ist der Quotient der Grenzwerte 2 und 1, also 2, kurz: lim  n ¥• 2    2n 3 + 3n – 4 __ n 3 + n 2 + 5n   3 = lim    n ¥• 2      2n 3 + 3n – 4 __ n 3 __   n 3 + n 2 + 5n __ n 3   3 =   lim    n ¥•   2n 3 + 3n – 4 __ n 3 __  lim    n ¥•   n 3 + n 2 + 5n __ n 3 =   lim    n ¥• 2  2 +   3 _  n 2 +   4 _  n 3   3 __ lim    n ¥• 2  1 +   1 _ n +   5 _  n 2   3 =   2 _ 1 = 2 B, D ggb/mcd/tns 9ux8yt den Grenzwert einer Folge berechnen B B D B, D ggb/mcd/tns g852gx den Grenzwert einer Folge berechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv