Mathematik HTL 3, Schulbuch

159 3.3 Das bestimmte Integral Ist f: [a; b] ¥ R eine stetige Funktion und G eine Stammfunktion von f, dann ist :  a   b f(t) dt= G(b) – G(a). Anstatt G(b) – G(a) wird oft auch G(t)  1 a   b geschrieben, statt t kann auch ein anderer Buchstabe geschrieben werden. Ist f eine stetige Funktion, dann ist die Funktion F: [a; b] ¥ R , z ¦ F(z) = :  a   z f(t) dt differenzierbar und eine Stammfunktion von f. Diese zwei Sätze heißen Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung . 733 Berechne für die Polynomfunktion f mit f(t) = t 2 – t das bestimmte Integral :  a   b f(t) dtfür [a; b] = [0; 1], [0; 2] und [1; 2]. Bestimme, für welche dieser drei Intervalle das Integral als Fläche der Menge M zwischen dem Intervall und dem Graphen der Funktion f aufgefasst werden kann. Wegen f(t) = t(t – 1) sind 0 und 1 die zwei Nullstellen von f. Die Funktionswerte von f sind auf dem Intervall [0; 1] nicht positiv und an allen anderen Stellen positiv. :  a   b f(t) dt= :  a   b (t 2 – t) dt= 2    1 _ 3 t 3 –   1 _ 2 t  3   1 a   b = = 2    1 _ 3 ·b 3 –   1 _ 2 ·b 2 3 – 2    1 _ 3 ·a 3 –   1 _ 2 ·a 2 3 . Somit ist :  0   1 f(t) dt=   1 _ 3 –   1 _ 2 = ‒   1 _ 6 , :  0   2 f(t) dt =   8 _ 3 –   4 _ 2 =   2 _ 3 und :  1   2 f(t) dt=   8 _ 3 –   4 _ 2 – 2    1 _ 3 –   1 _ 2   3 =   5 _ 6 . Die Funktionswerte von f sind auf dem Intervall [0; 1] nicht positiv, daher ist nicht :  0   1 f(t) dtdie Fläche der Menge unter diesem Intervall und über dem Graphen von f, sondern ‒ :  0   1 f(t) dt=   1 _ 6 . Auf dem Intervall [0; 2] hat f sowohl positive als auch negative Funktionswerte. :  0   2 f(t) dtkann daher nicht als Fläche aufgefasst werden. Die Funktionswerte von f sind auf dem Intervall [1; 2] nicht negativ, daher ist :  1   2 f(t) dt=   5 _ 6 die Fläche von M. 734 Berechne die bestimmten Integrale :  1   4   1 _ 4 t 2 dtund :  4   1   1 _ 4 t 2 dt. Stelle das erste Integral als Fläche graphisch dar. 735 Berechne das bestimmte Integral und stelle es als Fläche graphisch dar. a. :  ‒1   4 (0,5x + 2) dx c. :  ‒2   3 (0,3x 2 + 1) dx e. :  ‒2   2 (0,5x 3 – 2x + 2) dx b. :  0   7,5 (‒ 0,4x + 3) dx d. :  ‒1   4 (‒ 0,6x 2 + 1,8x + 2,4) dx f. :  ‒2   2 (‒ x 4 + 3,5x 2 + 2) dx 736 Berechne für die Polynomfunktion f mit f(x) = 2x –   1 _ 2 x 2 das bestimmte Integral :  a   b f(x) dxfür die Intervalle [a; b] = [0; 2], [‒1; 1] und [4; 5]. Begründe, für welche der drei Intervalle das Integral als Fläche zwischen dem Intervall und dem Graphen aufgefasst werden kann. Hauptsätze der Differential- und Integral- rechnung B, C ggb 923q74 bestimmte Integrale berechnen und interpretieren t y 0 -1 1 2 1 2 f A, B A, B B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv