Mathematik HTL 3, Schulbuch

158 Integralrechnung 732 Mit g bezeichnen wir die Funktion g: [0; 1] ¥ R , die jeder rationalen Zahl im Intervall [0; 1] die Zahl 0 zuordnet und jeder irrationalen Zahl im Intervall [0; 1] die Zahl 1. a. Diskutiert, ob man den Graphen dieser Funktion zeichnen kann. b. Zeigt, dass die Untersummen für diese Funktion und das Intervall [0; 1] alle 0 und die Obersummen alle 1 sind. Verwendet dazu, dass es in jedem Intervall [a; b] mit a ≠ b sowohl rationale als auch irrationale Zahlen gibt. c. Diskutiert, ob es sinnvoll ist, jeder Teilmenge von R 2 eine Fläche zuzuordnen. Berechnung bestimmter Integrale mithilfe von Stammfunktionen Es wäre sehr mühsam, wenn wir für die Berechnung der Fläche der Menge zwischen einem Intervall [a; b] und dem Graphen einer stetigen Funktion immer die Grenzwerte der Folgen der Untersummen und der Obersummen berechnen müssten. Aber es gibt eine gute Nachricht: Die folgende Überlegung zeigt, dass man diese Fläche viel einfacher berechnen kann. Wir betrachten eine stetige Funktion f: [a; b] ¥ R und nehmen der Einfachheit halber an, dass f keine negativen Funktions­ werte hat. Dann erhalten wir daraus die „Flächenfunktion” F: [a; b] ¥ R , z ¦ ​ :  a ​  z ​ f(t) dt​, die jeder Zahl z im Intervall [a; b] die Fläche der Menge zwischen dem Intervall [a; z] und dem Graphen von f zuordnet. Es ist F(a) = 0. Für jede positive Zahl h, die kleiner als z – a ist, ist F(z) – F(z – h) = ​ :  a ​  z ​ f(t) dt​– ​  :  a ​  z – h ​  f(t) dt​= ​ :  z – h ​  z ​ f(t) dt​ die Fläche der Menge zwischen dem (kleinen) Intervall [z – h; z] der Länge h und dem Graphen von f, also „fast” die Fläche h·f(z – h) des Rechtecks über [z – h; z] mit Höhe f(z – h). Daher ist ​  F(z) – F(z – h) __ h  ​= ​  1 _ h ​ ​ :  z – h ​  z ​ f(t) dt​≈ f(z – h) und, weil f stetig ist, F’(z) = ​ lim    h ¥ 0 ​ ​  F(z) – F(z – h) __ h  ​= ​ lim  h ¥ 0 ​f(z – h) = f(z). Was bedeutet das? Das bedeutet, dass die Funktion F an der Stelle z differenzierbar ist und dass F eine Stammfunktion von f ist! Wenn G irgendeine Stammfunktion von f ist, dann gibt es eine konstante Funktion c mit G = F + c. Daher ist G(b) – G(a) = (F + c)(b) – (F + c)(a) = F(b) + c – F(a) – c = F(b) – F(a) = F(b) – 0. Weil f keine negativen Funktionswerte hat, ist G(b) – G(a) = F(b) die Fläche der Menge zwischen dem Intervall [a; b] und dem Graphen von f. Wir können also mithilfe des unbestimmten Integrals bestimmte Integrale berechnen. Diese zwei Ergebnisse formulieren wir nun allgemein (ohne die Voraussetzung, dass f keine negativen Funktionswerte hat). D t y 0 -1 1 b a 1 z t y 0 -1 1 b z a 1 z – h Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv