Mathematik HTL 3, Schulbuch

156 Integralrechnung Da die Summe von zwei konvergenten Folgen konvergiert und ihr Grenzwert die Summe der zwei Grenzwerte ist, gilt für jede stetige Funktion f: [a; b] ¥ R und jede Zahl z mit a < z < b: Das Integral von f von a bis b ist die Summe der Integrale von f von a bis z und von z bis b, kurz: :  a   b f(t) dt= :  a   z f(t) dt+ :  z   b f(t) dt 725 Berechne den Grenzwert der Untersummen und Obersummen für die lineare Funktion f mit f(x) = 2x + 1 auf dem Intervall [1; 2]. Da die Funktion monoton wachsend ist, müssen wir im Intervall 4 a +   (i – 1)(b – a) __ n  ; a +   i(b – a) _ n    5 die Zahl a +   (i – 1)(b – a) __ n  für m i,n und a +   i(b – a) _ n  für M i,n wählen. Für jede natürliche Zahl n ist die Untersumme u n =   b – a _ n  · ;  i = 1   n f 2 a +   (i – 1)(b – a) __ n    3 =   2 – 1 _ n  ;  i = 1   n f 2 1 +   (i – 1)·(2 – 1) __ n    3 =   1 _ n · ;  i = 1   n 2 2 2 1 +   i – 1 _ n    3 + 1  3 = =   1 _ n · 2  2n + 2 ;  i = 1   n i – 1 _ n  + n  3 = 3 +   2 _  n 2 ;  i = 1   n (i – 1)= 3 +   n(n – 1) _ n 2 = 4 –   1 _ n und die Obersumme o n =   b – a _ n  · ;  i = 1   n f 2 a +   i(b – a) _  n  3 =   1 _ n · ;  i = 1   n 2 2 2 1 +   i _  n 3 + 1  3 =   1 _ n · 2  2n + 2 ;  i = 1   n i _  n + n  3 = = 3 +   2 _  n 2 ;  i = 1   n i= 3 +   n(n + 1) _ n 2 = 4 +   1 _ n . Dabei haben wir verwendet, dass ;  i = 1   n i=   1 _ 2 n·(n + 1) ist. Die Folgen k u n l und k o n l konvergieren gegen 4. 726 a. Zeichne für n = 1, 2, 3, 4, 5 ein Rechteck mit der Länge   1 _ 2 ·n·(n + 1) cm und der Breite 2n + 1 cm. Zeichne entlang der unteren Länge nacheinander die Quadrate mit Seitenlänge 1 cm, 2 cm, …, n cm in das Rechteck ein. Mache dasselbe entlang der oberen Länge. Die Fläche der Vereinigung aller Quadrate entlang der unteren Länge und entlang der oberen Länge ist jeweils S(n) = ;  i = 1   n i 2 cm 2 . Prüfe nach, dass die Fläche der übrigbleibenden Menge im Rechteck ebenfalls S(n) ist. Schließe daraus für n = 1, 2, 3, 4 und 5, dass 3·S(n) =   1 _ 2 ·n·(n + 1)·(2n + 1) und S(n) =   1 _ 6 ·n·(n + 1)·(2n + 1) ist. b. Zeige für alle natürlichen Zahlen n: Wenn ;  i = 1   n i 2 =   1 _ 6 ·n·(n + 1)·(2n + 1) ist, dann ist ;  i = 1   n + 1 i 2 =   1 _ 6 ·(n + 1)·((n + 1) + 1)·(2(n + 1) + 1). Benutze dazu, dass ;  i = 1   n + 1 i 2 = ;  i = 1   n i 2 + (n + 1) 2 ist. c. Wie kann man mithilfe der Aufgaben a. und b. begründen, dass ;  i = 1   10 i 2 =   1 _ 2 ·10·(10 + 1)·(2·10 + 1) ist? d. Begründe mithilfe der Überlegungen aus den Aufgaben a. , b. und c. : Für alle natürlichen Zahlen n ist die Summe der Quadrate der natürlichen Zahlen von 1 bis n gleich   1 _ 6 ·n·(n + 1)·(2n + 1). Summen- regel für Integrations grenzen B den Grenzwert von Unter- und Obersummen berechnen A, C, D 11 15 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv