Mathematik HTL 3, Schulbuch

155 3.3 Das bestimmte Integral Wenn wir nicht vom Intervall [0; 1] sondern von einem beliebigen Intervall [a; b] mit a < b ausgehen, betrachten wir anstatt der Zerlegung von [0; 1] in die Intervalle ​ 4 0; ​  1 _ n ​  5 ​ , ​ 4 ​  1 _ n ​ ; ​  2 _ n ​  5 ​ , …, ​ 4 ​  n – 1 _ n  ​ ; 1  5 ​ der Länge ​  1 _ n ​die Zerlegung von [a; b] in die Intervalle ​ 4 a; a + ​  b – a _ n  ​  5 ​ , ​ 4 a + ​  b – a _ n  ​ ; a + ​  2(b – a) __ n  ​  5 ​ , …, ​ 4 a + ​  (n – 1)·(b – a) __ n  ​ ; b  5 ​ der Länge ​  b – a _ n  ​ . Allgemein gilt: Für reelle Zahlen a, b mit a < b und eine stetige Funktion f: [a; b] ¥ R betrachten wir die (für alle positiven ganzen Zahlen n) durch u n = ​  b – a _ n  ​·​ ;  i = 1 ​  n ​ f(m i,n )​und o n = ​  b – a _ n  ​·​ ;  i = 1 ​  n ​ f(M i,n )​ definierten Folgen k u n l („Untersummen”) und k o n l („Obersummen”). Dabei sind m i,n und M i,n Zahlen im Intervall ​ 4 a + ​  (i – 1)·(b – a) __ n  ​; a + ​  i·(b – a) __ n  ​  5 ​ , für die der Funktionswert f(m i,n ) möglichst klein und der Funktionswert f(M i,n ) möglichst groß ist. Man kann zeigen: Diese zwei Folgen konvergieren gegen denselben Grenzwert. Wir bezeichnen dann diese Zahl ​lim  n ¥• ​u n = ​lim  n ¥• ​o n mit ​ :  a ​  b ​ f(t) dt​ und nennen sie das bestimmte Integral von f über dem Intervall [a; b] oder kurz das Integral von f von a bis b . Anstatt t kann jedes andere Zeichen verwendet werden. Die Zahlen a und b heißen die Integrationsgrenzen dieses Integrals. Statt ‒ ​ :  a ​  b ​ f(t) ​dt schreiben wir auch ​ :  b ​  a ​ f(t) dt​ . Die Menge zwischen dem Intervall [a; b] und dem Graphen von f ist die Teilmenge von R 2 , die vom Graphen von f, von der xAchse und den Geraden parallel zur yAchse durch (a 1 0) und durch (b 1 0) begrenzt wird. Wenn f stetig ist und auf dem Intervall keine negativen Funktionswerte hat, dann nennen wir ​ :  a ​  b ​ f(t) dt​ die Fläche der Menge zwischen dem Intervall [a; b] und dem Graphen von f. Wenn f stetig ist und auf dem Intervall keine positiven Funktionswerte hat, dann nennen wir ​ |  ​ :  a ​  b ​ f(t) dt​  | ​ die Fläche der Menge zwischen dem Intervall [a; b] und dem Graphen von f. x y 0 0,5 1 1 b a 1,5 0,5 - 0,5 bestimmtes Integral Integrations- grenzen  ggb qi93pb Fläche t y 0 -1 1 b a 1 t y 0 -1 1 -1 b a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv