Mathematik HTL 3, Schulbuch

154 3.3 Das bestimmte Integral Ich lerne das bestimmte Integral von Funktionen kennen und damit Flächen zu berechnen. Ich lerne den Zusammenhang zwischen Stammfunktionen und bestimmten Integralen kennen und für die Berechnung von Flächen zu nutzen. Ich lerne mit bestimmten Integralen Mittelwerte von Funktionen zu berechnen. Ich lerne Probleme aus Technik und Naturwissenschaft mithilfe der Integralrechnung zu lösen. Das bestimmte Integral als Fläche Wir wissen bereits, wie man Flächen von Rechtecken, Dreiecken und anderen Vielecken berechnet. Wie kann man aber zum Beispiel die Fläche der Teilmenge M von R 2 berechnen, die von den Strecken zwischen (0 1 0) und (1 1 0), zwischen (1 1 0) und (1 1 1) und dem Graphen der Potenzfunktion f mit f(x) = x 2 begrenzt wird? Wir wählen als Längeneinheit dm und daher als Flächeneinheit dm 2 . Näherungsweise können wir die gesuchte Fläche so bestimmen: Wir zerlegen das Intervall [0; 1] in die 10 Intervalle I 1 = 4  1;   1 _  10   5 , I 2 = 4    1 _  10  ;   2 _  10   5 , I 3 = 4    2 _  10 ;   3 _  10   5 , …, I 10 = 4    9 _  10 ; 1  5 und betrachten die „unteren” Rechtecke U 1 , U 2 , …, U 10 über I 1 , I 2 , …, I 10 , deren Höhen 0 = f(0),   1 _  10 2 = f 2    1 _  10   3 , …,   9 2 _  10 2 = f 2    9 _  10   3 sind und die „oberen” Rechtecke O 1 , O 2 , …, O 10 über I 1 , I 2 , …, I 10 , deren Höhen   1 _  10 2 = f 2    1 _  10   3 ,   2 2 _  10 2 = f 2    2 _  10   3 , …, 1 = f 2    10 _ 10   3 sind. Die Summe der Flächen der unteren Rechtecke ist kleiner als die Summe der Flächen der oberen Rechtecke. Die Fläche A(M) dm 2 der Menge M sollte dazwischen liegen. Die Fläche A(U i ) dm 2 des Rechtecks U i und die Fläche A(O i ) dm 2 des Rechtecks O i sind A(U i ) =   1 _  10 ·  (i – 1) 2 _ 10 2 =   (i – 1) 2 _ 10 3 und A(O i ) =   1 _  10 ·  i 2 _  10 2 =   i 2 _  10 3 , daher ist   1 _  10 3 2  ;  i = 1   10 (i – 1) 2   3 = 0,285 ª A(M) ª   1 _  10 3 2  ;  i = 1   10 i 2   3 = 0,385. Diese Abschätzung wird umso genauer, je mehr Rechtecke gewählt werden. Für n Rechtecke ist u n =   1 _  n 3 2  ;  i = 1   n (i – 1) 2   3 ª A(M) ª   1 _  n 3 2  ;  i = 1   n i 2   3 = o n . Man kann zeigen, dass die Folgen k u n l und k o n l für n ¥ • gegen dieselbe Zahl, nämlich   1 _ 3 , konvergieren. Daher ist es sinnvoll, die Fläche A(M) mit   1 _ 3 dm 2 festzulegen. ggb h336vy x y 0 0,5 1 1 1,5 0,5 - 0,5 (0 1 0) (1 1 0) (1 1 1) x y 0 0,5 1 1 1,5 0,5 - 0,5 (0 1 0) (1 1 0) (1 1 1) x y 0 0,5 1 1 1,5 0,5 - 0,5 (0 1 0) (1 1 0) (1 1 1) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv