Mathematik HTL 3, Schulbuch

153 3.2 Rechenregeln für die Integration Somit ist ​  3x + 4 __  ​x​ 2 ​+ x – 6 ​= ​  2 _  x – 2 ​+ ​  1 _  x + 3 ​ und ​ :  ​  ​  ​  3x + 4 __  ​x​ 2 ​+ x – 6 ​dx = ​ :  ​  ​  ​  2 _  x – 2 ​dx + ​ :  ​  ​  ​  1 _  x + 3 ​dx. Daher ist die Funktion F mit F(t) = 2·ln † t – 2 † + 1·ln † t + 3 † + c eine Stammfunktion von f mit f(x) = ​  3x + 4 __  ​x​ 2 ​+ x – 6 ​ . 714 Finde die Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion f. a. f(x) = ​  4 __  (x – 2)(x + 2) ​ b. f(x) = ​  2x __  (x – 3)(x + 5) ​ c. f(x) = ​  3x + 2 __  (x – 2)(x + 1) ​ d. f(x) = ​  7x – 1 __  (x – 3)(x + 1) ​ 715 Finde die Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion f. a. f(x) = ​  1 __  x 2 + x – 12 ​ b. f(x) = ​  x __  x 2 + 2x – 3 ​ c. f(x) = ​  2x – 5 __  x 2 + x – 12 ​ d. f(x) = ​  8x + 3 __  4x – x 2 + 5 ​ 716 Finde eine Stammfunktion der rationalen Funktion f mithilfe der Partialbruchzerlegung. a. f(x) = ​  3 __  (x – 1)(x + 1) ​ b. f(x) = ​  2 __  (x – 5)(x + 4) ​ c. f(x) = ​  5x __  (x – 1)(x + 3) ​ d. f(x) = ​  x + 2 __  (x + 3)(x + 1) ​ 717 Berechne eine Stammfunktion der rationalen Funktion f mithilfe der Partialbruchzerlegung. a. f(x) = ​  10x + 11 __  x 2 + x – 2 ​ b. f(x) = ​  3x + 11 __  ‒x 2 + 2x + 3 ​ c. f(x) = ​  4x – 1 __  ‒x 2 + 3x + 4 ​ d. f(x) = ​  8x + 20 __  x 2 + 2x – 35 ​ 718 Berechne das unbestimmte Integral. a. ​ :  ​  ​  ​  4x + 1 __  x 2 – x – 2 ​dx b. ​ :  ​  ​  ​  x – 9 __  x 2 – 3x – 4 ​dx c. ​ :  ​  ​  ​  2x – 17 __  x 2 + 3x – 4 ​dx d. ​ :  ​  ​  ​  6x – 2 __  x 2 – 2x – 3 ​dx 719 Löse Aufgabe 718 auch mithilfe eines CAS. Nütze dafür auch die Befehle zur Partialbruch­ zerlegung. Vergleiche die Ergebnisse des CAS mit den von dir ermittelten Ergebnissen. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kenne Rechenregeln für die Integration und verstehe ihre Herleitung. 720 Gib an, welche Rechenregeln zur Bestimmung einer Stammfunktion der Funktion verwendet werden müssen. a. f mit f(t) = sin(3t) c. h mit h(t) = e t ·sin(2t) b. g mit g(t) = t 2 ·cos(t) d. k mit k(t) = 3t 3 + 2·ln(2t + 5) 721 Gib eine Rechenregel zur Berechnung der Stammfunktion der Differenz f – g zweier Funktionen f und g, deren Stammfunktionen bekannt sind, an. Begründe. Ich kann Rechenregeln für die Integration nützen, um Stammfunktionen vieler weiterer Funktionen zu berechnen. 722 Gib an, welche Funktion F eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x) = x·e x ist. Begründe. A  F(x) = x·e x – 1 B  F(x) = x·e x – x C  F(x) = x·e x – e x – 1 D  F(x) = ​  1 _ 2 ​x 2 ·e x 723 Finde eine Stammfunktion der Funktion f mit f(t) = e 5t , die den Funktionswert 2 an der Stelle ‒ ​  1 _ 5 ​hat. 724 Berechne eine Stammfunktion der rationalen Funktion f mit f(x) = ​  5 __  x 2 + x – 6 ​ . B B B B B B, C C C, D B, D B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv