Mathematik HTL 3, Schulbuch

152 Integralrechnung Integration mit Partialbruchzerlegung Sind a und b zwei verschiedene reelle Zahlen, so ist   1 __  (x – a)(x – b) =   1 _  b – a 2    1 _  x – b –   1 _  x – a   3 . Daher ist für alle reellen Zahlen c und d   cx + d __  (x – a)(x – b) =   1 _  b – a 4    cx + d _ x – b  –   cx + d _ x – a    5 . Schreiben wir cx + d = c(x – b) + cb + d, dann ist   cx + d _ x – b  = c +   cb + d _ x – b  . Analog ist   cx + d _ x – a  = c +   ca + d _  x – a  . Daher ist   cx + d __  (x – a)(x – b) =   1 _  b – a 4  c +   cb + d _ x – b  – c –   ca + d _ x – a    5 =   1 _  b – a 4    cb + d _ x – b  –   ca + d _ x – a    5 . Für reelle Zahlen a, b, c mit a ≠ b gibt es reelle Zahlen A und B so, dass die rationale Funktion f mit f(x) =   cx + d __  (x – a)(x – b)  als f(x) =   cx + d _  (x – a)(x – b) =   A _  x – a +   B _  x – b geschrieben werden kann. Dabei ist A =   cb + d _ b – a  und B = ‒   ca + d _ b – a  . Den Übergang zu dieser Darstellung der rationalen Funktion f nennt man Partialbruchzerlegung . Eine Stammfunktion der rationalen Funktion f mit f(x) =   cx + d __  (x – a)(x – b)  ist die Funktion F mit F(t) = A·ln( † x – a †) + B·ln( † x – b †) . 713 Berechne eine Stammfunktion der rationalen Funktion f. a. f(x) =   2x + 1 __  (x – 1)(x + 2) b. f(x) =   3x + 4 __  x 2 + x – 6 a. Weil a = 1, b = ‒2, c = 2 und d = 1 ist, ist A =   2·(‒2) + 1 __ ‒3  = 1   2·(‒2) + 1 __ ‒3  = 1 und B = ‒   2·1 + 1 _ ‒3  = 1, somit ist   2x + 1 __  (x – 1)(x + 2) =   1 _  x – 1 +   1 _  x + 2 . Daher ist die Funktion F mit F(x) = ln( † x – 1 †) + ln( † x + 2 † ) + c eine Stammfunktion von f mit f(x) =   2x + 1 __  (x – 1)(x + 1) . b. Hier müssen wir zuerst die Nullstellen des Zählers x 2 + x – 6 berechnen, diese sind 2 und ‒3. Daher ist x 2 + x – 6 = (x – 2)·(x + 3). Wir zerlegen   3x + 4 __  (x – 2)(x + 3) mit einer anderen Methode in Partialbrüche. Wir suchen Zahlen A, B so, dass   3x + 4 __  (x – 2)(x + 3) =   A _  x – 2 +   B _  x + 3 ist. Wir multiplizieren auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens mit (x – 2)·(x + 3) und erhalten 3x + 4 = A·(x + 3) + B·(x – 2) = (A + B)·x + (3A – 2B). Daher muss A + B = 3 und 3A – 2B = 4, also A = 2 und B = 1 sein. Partialbruch zerlegung Integrieren mit Partialbruch zerlegung B ggb 8y26ef Stammfunktion mithilfe der Partialbruch zerlegung berechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv