Mathematik HTL 3, Schulbuch

151 3.2 Rechenregeln für die Integration 698 Berechne eine Stammfunktion. a. :    e ‒x dx c. :    e y + 3 dy e. :    (e z ) 2 dz g. :      e t – e ‒t _ 2  dt b. :    e   x _ 2 dx d. :    e 1 – y dy f. :    (e 3z ) 3 dz h. :      1 – e t _ e t dt 699 Finde eine Stammfunktion von f mit f(t) = a·e bt , wenn a und b reelle Zahlen sind. 700 Ermittle eine Stammfunktion a. :    ln(2x)dx b. :    ln(3x – 2)dx c. :    x·ln(x 2 + 1)dx d. :    2x·ln(4x 2 – 1) dx 701 Ermittle eine Stammfunktion von f mit f(t) = ln(at + b), wenn a und b reelle Zahlen sind. 702 Finde für die Funktion g mit g(t) = ln(2t – 1) eine Stammfunktion, die an der Stelle 1 den Funktionswert 3 hat. 703 Berechne :      2t _  t 2 + 1 dt und mach die Probe durch Differenzieren. Hier fällt auf, dass der Integrand eine rationale Funktion ist, deren Zähler die Ableitung des Nenners ist. Das unbestimmte Integral hat also die Form :      g’(t) _ g(t) dt . Dabei ist g die Funktion mit g(t) = t 2 + 1 und g’(t) = 2t. Wir ersetzen g(t) durch z und dt durch   dz _  g’(t) =   dz _ 2t und erhalten :    2t _  t 2 + 1 dt= :      2t _ z    dz _ 2t = :      1 _ z dz= ln(z) + c = ln(t 2 + 1) + c. Eine gesuchte Stammfunktion ist also die Funktion F mit F(t) = ln(t 2 + 1) + c. Probe: Mithilfe der Kettenregel erhalten wir F’(t) =   1 _  t 2 + 1 ·2t =   2t _  t 2 + 1 . 704 Gib an, welche der Funktionen F eine Stammfunktion der rationalen Funktion f mit f(t) =   3t _  t 2 – 1 ist. Begründe. A t mit t(t) = 3ln(t 2 – 1) C t mit t(t) =   3 _ 2 ln(t 2 – 1) E f mit f(t) = 6ln(t 2 ‒1) B F mit F(t) =   3  t 2 _ 2 _    t 3 _  3 – t D t mit t(t) =   3 _ 2 t 2 ·ln(t 2 – 1) F f mit f(t) = 3   t 2 _ 2 ·  1 _ 2 ln(t 2 – 1) 705 Berechne eine Stammfunktion. a. :      x _  x 2 – 1 dx b. :      x _  (1 – x 2 ) 2 dx c. :      y _  9 ___ 1 + y 2   dy d. :      2y __  3 9 __ _ 2y 2 – 1 dy 706 Zeige, dass gilt: :      1 _  t·ln(t) dt = ln(ln(t)) + c 707 Finde eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x) =   x n – 1 __  (ax n + b) 2 mit reellen Zahlen a und b. 708 Gib eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x) =   ax n – 1 __  9 __ _ ax n + b an, wenn a und b reelle Zahlen sind. 709 Ermittle das unbestimmte Integral :    at n – 1 _  a t n + b dt. Dabei sind a und b reelle Zahlen. 710 Finde eine Stammfunktion für die Funktion f mit f(x) =   3x 2 __  9 __ _ 2x 3 + 1 , die an der Stelle 0 den Funktions wert 4 hat. 711 Finde eine Stammfunktion zur Funktion f mit f(x) =   8x 2 __  (4 – x 3 ) 4 , die an der Stelle ‒1 den Funktions wert 0 hat. 712 Ermittle eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x) =   2x 2 _  (x 3 + 1) 2 so, dass der Punkt P (1 1 1) auf dem Graphen dieser Stammfunktion liegt. B B B B B B ggb nz72p9 eine Stammfunktion durch Substitution berechnen B, D B D B B B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv