Mathematik HTL 3, Schulbuch

15 1.1 Grenzwerte von Folgen Rechnen mit Grenzwerten Erinnern wir uns, dass man mit Folgen rechnen kann: Wir können sie (komponentenweise) addieren, multiplizieren und mit Zahlen multiplizieren, dabei gelten dieselben Rechenregeln wie für nTupel. Wenn kein Folgenglied einer Folge gleich 0 ist, dann können wir durch diese Folge auch (komponentenweise) dividieren. Wenn zwei Folgen konvergent sind, dann ist auch ihre Summe konvergent und der Grenzwert der Summe ist die Summe der Grenzwerte. Kurz: ​ lim    n ¥• ​ (​f​ n ​+ ​g​ n ​) = ​lim    n ¥•  ​  ​f​ n ​+ ​lim    n ¥• ​  ​g​ n ​ Wenn zwei Folgen konvergent sind, dann ist auch ihre Differenz konvergent und der Grenzwert der Differenz ist die Differenz der Grenzwerte. Kurz: ​ lim    n ¥• ​ (​f​ n ​– ​g​ n ​) = ​lim  n ¥• ​  ​f​ n ​– ​lim    n ¥•  ​  ​g​ n ​ Wenn eine Folge konvergent ist, dann sind auch alle Vielfachen davon konvergent und der Grenzwert der cfachen Folge ist das cFache des Grenzwertes der Folge. Kurz: ​ lim    n ¥• ​ (c·​f​ n ​) = c·​lim    n ¥• ​ ​ f​ n ​ Wenn zwei Folgen konvergent sind, dann ist auch ihr Produkt konvergent und der Grenzwert des Produktes ist das Produkt der Grenzwerte. Kurz: ​ lim    n ¥• ​ (​f​ n ​·​g​ n ​) = ​lim    n ¥• ​ ​ f​ n ​·​lim  n ¥•  ​ ​ g​ n ​ Wenn zwei Folgen f und g konvergent sind und alle Folgenglieder von g sowie der Grenzwert von g ungleich 0 sind, dann ist auch der Quotient ​  f _ g ​konvergent und Grenzwert des Quotienten ist der Quotient der Grenzwerte. Kurz: ​ lim    n ¥• ​ ​ 2  ​  ​ f​ n ​ _  ​g​ n ​ ​  3 ​= ​  ​lim   n ¥• ​ ​ f​ n ​ _  ​lim   n ¥• ​ ​ g​ n ​ ​ Wir zeigen, dass die erste Behauptung richtig ist, bei den anderen zeigt man das auf ähnliche Weise. Mit a und b bezeichnen wir die Grenzwerte der konvergenten Folgen f und g, also ​lim  n ¥• ​ f n = a und ​lim    n ¥• ​ g n = b. Wir müssen zu jeder positiven reellen Zahl ε eine natürliche Zahl m so finden, dass für alle natürlichen Zahlen n > m der Abstand zwischen f n + g n und a + b kleiner als ε ist. Weil f und g konvergent mit Grenzwerten a und b sind, gibt es natürliche Zahlen p und q so, dass für alle n, die größer als p sind, † f n – a † < ​  ε _ 2 ​ und für alle n, die größer als q sind, † g n – b † < ​  ε _ 2 ​ ist. Wenn n größer als p und als q ist, ist † (f n + g n ) – (a + b) † = † (f n – a) + (g n – b) † < † f n – a † + † g n – b † < ​  ε _ 2 ​+ ​  ε _ 2 ​= ε . Wir müssen also m nur so wählen, dass diese Zahl größer als p und größer als q ist. Achtung Die Umkehrung dieser Aussagen ist im Allgemeinen nicht richtig. Wenn die Summe oder das Produkt zweier Folgen konvergiert, können wir daraus nicht schließen, dass diese zwei Folgen konvergieren. Zum Beispiel ist die Summe der divergenten Folgen k 1, 2, 3, …, n, … l und k ‒1, ‒ 2, ‒ 3,…, ‒n, … l die konvergente Folge k 0, 0, 0, …,0, … l . Oder: Das Produkt der konvergenten Folge ​ k  1, ​  1 _ 2 ​ , ​  1 _ 3 ​ , ​  1 _ 4 ​ , …, ​  1 _ n ​ , …  l ​(mit Grenzwert 0) und der divergenten Folge k 1, 2, 3, …, n, … l ist die Folge k 1, 1, 1, …, 1, … l mit Grenzwert 1! Grenzwerte von Summe, Differenz, Produkt und Quotient konvergenter Folgen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv