Mathematik HTL 3, Schulbuch

149 3.2 Rechenregeln für die Integration Integration durch Substitution Beim Versuch, das Integral :    9 ___ t – 2dt zu berechnen, stoßen wir zunächst auf Schwierigkeiten. Dieses Integral wäre leicht zu berechnen, wenn unter der Wurzel nur t stünde. Wir fassen daher die Funktion h mit h(t) = 9 ___ t – 2als Zusammensetzung w ° g der Funktionen g mit g(t) = t – 2 und w mit w(z) = 9 _ zauf. Daher gilt für alle Zahlen t: h(t) = 9 ___ t – 2= w(g(t)), also ist h = w ° g. Erinnern wir uns an die Kettenregel der Differentiation: Für alle reellen Zahlen t ist (w ° g)’(t) = w’(g(t))·g’(t). Daher ist :    w’(g(t))·g’(t) dt= w ° g + c = 2  :    w’(z) dz  3 ° g + c. Schreiben wir f für w’, so erhalten wir: Ist f eine stetige Funktion und g eine differenzierbare Funktion, deren Ableitung stetig ist und die mit f zusammengesetzt werden kann, dann ist :    f(g(t))·g’(t) dt= (  :    f(z) dz  ) ° g + c Tipp Eine Merkregel dazu: „Schreibt man im Integral :    f(g(t))·g’(t) dtdas Zeichen z für g(t), dann muss das Zeichen dt durch   dz _  g’(t) ersetzt werden. Die Stammfunktion :    f(z) dzvon f muss schließlich noch mit g zusammengesetzt werden.“ Deshalb nennt man diese Methode, Stammfunktionen zu berechnen, auch integrieren durch Substitution (nach dem lateinischen Wort substituere für „ersetzen“). In unserem Beispiel schreiben wir in :    9 ___ t – 2dtfür g(t) = t – 2 kurz z und ersetzen dt durch   dz _  g’(t) =   dz _ 1  = dz. Eine Stammfunktion von f mit f(z) = 9 _ zist die Funktion w mit w(z) =   2 _ 3 z   3 _ 2 . Die Zusammensetzung von w mit g ergibt die Funktion w ° g mit (w ° g)(t) =   2 _ 3 (t – 2)   3 _ 2 . 682 Berechne :    (3 t + 1) 2 dt. Mit g bezeichnen wir die Funktion mit g(t) = 3t + 1. Im Integranden ersetzen wir 3t + 1 durch z und dt durch   dz _  g’(t) =   dz _ 3  . Dann ist :    z 2   dz _ 3  =   1 _ 3 :    z 2 dz=   z 3 _  9 + c. Setzt man diese Polynomfunktion mit g zusammen, erhält man :    (3t + 1) 2 dt=   (3t + 1) 3 __ 9  + c. 683 Integriere durch Substitution. a. :    (2x + 1) 3 dx c. :    (4 – 2y) 5 dy e. :    9 ____ 2z + 1dz g. :    3 9 ___ 2 – tdt b. :    (4x – 7) 4 dx d. :    (8 + 3y)   1 _ 2 dy f. :      3 _  9 ___ 2z – 1 dz h. :    1 _  3 9 ___ 1 – 4t dt 684 Finde eine Stammfunktion für die Funktion f mit f(x) = (a·x + b) n , wobei a und b reelle Zahlen sind. 685 Berechne das unbestimmte Integral durch Substitution. a. :      1 _  x + 1 dx c. :      3 _  3y – 4  dy e. :      1 _  (2 – z) 2 dz g. :      2 _  2    t _ 2 + 5  3 2 dt b. :      1 _  1 – x  dx d. :      2 _  1 – 2y dy f. :      5 __  (5z + 1) 3 dz h. :      ‒1 _  2  1 –   2t _ 3    3 3 dt Integration durch Substitution B eine Stammfunktion durch Substitution berechnen B B B Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv