Mathematik HTL 3, Schulbuch

148 Integralrechnung 672 Berechne das unbestimmte Integral :    (3 t 2 – 4t)e t dt. Wir wählen g’ mit g’(t) = e t und f mit f(t) = 3t 2 – 4t, dann ist g(t) = e t und f’(t) = 6t – 4. Daher ist :    (3t 2 – 4t)e t dt= :    (f·g’)(t) dt= f(t)·g(t) – :    (f’·g)(t) dt+ c = (3t 2 – 4t)·e t – :    (6t – 4)·e t dt+ c. Für die Berechnung von :    (6t – 4)·e t dtverwenden wir noch einmal partielle Integration mit f 1 (t) = 6t – 4 und g’(t) = e t , also f 1 ’(t) = 6 und g(t) = e t . Es ist :    (6t – 4)·e t dt= (6t – 4)e t – :    6e t dt= (6t – 4)e t – 6e t + c, also erhalten wir :    (3 t 2 – 4t)e t dt= (3t 2 – 4t)·e t – ((6t – 4)·e t – 6e t ) + c = = (3t 2 – 4t)·e t – (6t – 4)e t + 6e t + c. Wir heben e t heraus und fassen zusammen. Somit erhalten wir eine Stammfunktion F mit F(t) = e t (3t 2 – 10t + 10) + c. 673 Berechne mit partieller Integration. a. :    (4x – 3)e x dx b. :    (5t + 7)·e t dt c. :    (z 2 – 3z + 1)·e z dz d. :    (4x 2 + 10x – 1)·e x dx 674 Finde für die Funktion f mit f(t) = (t 2 + t)·e t eine Stammfunktion, die an der Stelle 0 den Funktionswert 2 hat. 675 Finde für jede positive ganze Zahl n eine Stammfunktion von f mit f(t) = t n ·ln(t). 676 Zeige, dass F mit F(t) =   t 1 – n _  (n – 1) 2 ((n – 1)ln(t) + 1) eine Stammfunktion von f mit f(t) = ‒   ln(t) _ t n   ist. Dabei ist n ≠ 1. 677 Berechne das unbestimmte Integral :    sin(t)·cos(t) dt. Sind f und g’ Funktionen mit f(t) = sin(t) und g’(t) = cos(t), dann ist f’(t) = cos(t) und g(t) = sin(t). :    sin(t)·cos(t) dt= :    f(t)·g’(t) dt= f(t)·g(t) – :    f’(t)·g(t) dt+ c = = sin(t)·sin(t) – :    cos(t)·sin(t) dt+ c Wir addieren auf beiden Seiten der Gleichung :    sin(t)·cos(t) dtund erhalten 2 :    sin(t)·cos(t) dt= (sin(t)) 2 + c. Daher ist :    sin(t)·cos(t) dt=   1 _ 2 sin 2 (t) + c. 678 Berechne das unbestimmte Integral. Führe die Probe durch Differenzieren durch. a. :    cos 2 (t) dt b. :    sin 2 (t) dt c. :    e t cos (t) dt d. :    e t sin (t) dt 679 Finde eine Stammfunktion von f mit f(t) = e t ·sin(t), die an der Stelle 0 den Funktionswert 3 hat. 680 Ermittle eine Stammfunktion von f mit f(t) = 3sin(t)·cos(t), die an der Stelle   π _ 2 den Funktionswert 2 hat. 681 Berechne das unbestimmte Integral :    a·e t ·sin(t) dt, wobei a eine reelle Zahl ist. B ggb us8u8w eine Stammfunktion durch partielle Integration berechnen B B B D B eine Stammfunktion durch partielle Integration berechnen ggb/mcd/tns ea499a B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv