Mathematik HTL 3, Schulbuch

147 3.2 Rechenregeln für die Integration Partielle Integration Auch aus der Produktregel für das Differenzieren erhalten wir eine Rechenregel für das Integrieren: Für zwei differenzierbare Funktionen f und g ist (f·g)’ = f’·g + f·g’, daher auch f·g’ = (f·g)’ – f’·g. :    (f·g’ )(t) dt = :    (f·g)’(t) dt – :    (f’·g)(t) dt + c = f · g – :    (f’·g)(t) dt + c Diese Beziehung können wir zum Integrieren verwenden, wenn wir Stammfunktionen g von g’ und :    (f’ · g)(t) dt von f’ · g berechnen können. Daraus erhalten wir die von f·g’. Diese Methode zu integrieren nennt man partielle Integration . 663 Berechne eine Stammfunktion der Funktion h mit h(t) = t·e t . Führe die Probe durch Differenzieren durch. Wir fassen h als Produkt f·g’ auf, mit f(t) = t und g’(t) = e t . Eine Stammfunktion von g’ ist g mit g(t) = e t und f’(t) = 1. Wegen (f’·g)(t) = 1·e t ist g auch eine Stammfunktion von f’·g. Daher ist :    h(t) dt= :    t·e t dt= t·e t – :    1·e t dt= t·e t – e t + c = (t – 1)·e t + c. Eine Stammfunktion von h ist also H mit H(t) = (t – 1)·e t + c. Probe: Differenzieren wir H, so erhalten wir H’(t) = 1·e t + (t – 1)e t = t·e t = h(t). 664 Berechne mit partieller Integration. a. :    8x·e x dx b. :    t 2 e t dt c. :    (z +1) 2 e z dz d. :    (t 2  + 1)e t dt 665 Berechne. a. :    x·sin (x) dx c. :    (y – 2)·cos(y) dy e. :    z·e z dz g. :    (2t + 1)e t dt b. :    x·cos(x) dx d. :    (3y + 1)·sin(y) dy f. :    z·2 z dz h. :    (3t – 5)3 t dt 666 Gib an, welche der Funktionen F eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x) = x 2 ·sin(x) ist. Begründe. A F(x) = ‒   1 _ 3 x 3 ·cos(x) C F(x) = 2cos(x) – x 2 ·cos(x) + 2x·sin(x) E F(x) = ‒ 2x·cos(x) B F(x) = 2x·sin(x) – x 2 ·cos(x) D F(x) = 2sin(x) – x 2 ·sin(x) + 2x·cos(x) F F(x) =   1 _ 3 x 3 ·sin(x) 667 Gib an, welche der Funktionen F eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x) = (x – 1)·cos(x) ist. Begründe. A F(x) = x·cos(x) C F(x) = cos(x) – sin(x) + x·sin(x) B F(x) = cos(x) – sin(x) D F(x) = cos(x) – sin(x) + x·cos(x) 668 Finde für die Funktion f mit f(t) = t·cos(t) eine Stammfunktion, die an der Stelle 0 den Funktionswert 2 hat. 669 Berechne eine Stammfunktion der Logarithmusfunktion f mit f(x) = ln(x). Schreibe dazu f(x) als f(x) = ln(x)·1 und berechne :    ln(x)·1 dx durch partielle Integration. 670 Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(t) = (at + b)e t , wobei a und b reelle Zahlen sind. 671 Ermittle :    (at + b)sin(t) dt, wenn a und b reelle Zahlen sind. partielle Integration B eine Stammfunktion durch partielle Integration berechnen ggb 6jr9x8 B B B, D B, D B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv