Mathematik HTL 3, Schulbuch

146 Integralrechnung 649 Berechne :    r 2 t 3 3 9 _ sdt für alle reellen Zahlen r und s. Der Integrand ist das r 2 · 3 9 _ sFache von t 3 . Nach der Faktorregel ist :    r 2 t 3 3 9 _ sdt = r 2 3 9 _ s :    t 3 dt=   1 _ 4 r 2 · 3 9 _ s·t 4 + c. 650 Untersuche, welche der Funktionen F eine Stammfunktion der quadratischen Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx ist. Dabei sind a und b reelle Zahlen. Begründe. A F(x) = 2ax + b B F(x) = ax 3 + bx 2 + c C F(x) =   1 _ 2 ax 3 + bx 2 + c D F(x) =   1 _ 3 ax 3 +   1 _ 2 bx 2 + c 651 Schau genau hin und berechne. a. :    12xy 2 z 3 dx b. :    12xy 2 z 3 dy c. :    12xy 2 z 3 dz d. :    12xy 2 z 3 dt 652 Schau genau hin und berechne. a. :      2x _ y  e t dx b. :      2x _ y  e t dy c. :      2x _ y  e t dz d. :      2x _ y  e t dt 653 Berechne. a. :    x 2 ·sin(y) dx c. :    e x ·y 2 dy e. :    x·y 2 ·z 3 dz g. :    t ‒2 ·  sin(x) _  cos(x) dt b. :    cos(x)·sin(y) dx d. :    sin(x)·2 y dy f. :      x 2 9 _ z _ 3 9 __ y·z dz h. :    (x +y) 3 dt 654 Untersuche, welche der Funktionen F Stammfunktionen der Funktion f mit f(x) = a·cos(x) sind (dabei ist a eine Zahl). Begründe. A F(x) = a 2 ·cos(x) + c B F(x) = a·sin(x) + c C F(x) =   1 _ 2 a 2 ·cos(x) + c D F(x) =   1 _ 2 a 2 ·sin(x) + c 655 Finde eine Stammfunktion der Funktion f mit f(t) = a·sin(t) + b·cos(t) (a, b * R ). 656 Gib an, welche der Funktionen eine Stammfunktion von f mit f(t) = a·e t + b·t ist. A F mit F(t) = a·e t + 1 + b·t 2 + c C F mit F(t) = a·e t +   1 _ 2 ·b·t 2 + c B F mit F(t) = a·e t + 1 +   1 _ 2 b·t 2 + c D F mit F(t) =   a _ t ·e t +   1 _ 2 ·b·t 2 + c 657 Finde für f mit f(t) = 3cos(t) eine Stammfunktion, die an der Stelle 0 den Funktionswert 4 hat. 658 Finde eine Stammfunktion von f mit f(t) = 2e t + t, die an der Stelle 0 den Funktionswert 1 hat. 659 Berechne eine Stammfunktion der rationalen Funktion f mit f(x) =   ax 2 + b _ x 4 . Da   ax 2 + b _ x 4 =   ax 2 _ x 4 +   b _  x 4 = ax ‒2 + bx ‒4 ist, ist eine Stammfunktion von f die Funktion F mit F(x) = :    (ax ‒2 + bx ‒4 ) dx= a :    x ‒2 dx+ b :    x ‒4 dx= ‒ ax ‒1 – b   x ‒3 _ 3  + c = ‒   a _ x –   b _  3x 3 + c. 660 Bestimme, welche der Funktionen F eine Stammfunktion der rationalen Funktion f mit f(x) =   a + bx _ x 3 ist, wenn a und b rationale Zahlen sind. Begründe. A F(x) = ‒   ax + bx 2 __ x 4 + c B F(x) = ‒   a _  2x 2 –   b _ x + c C F(x) = ‒     a _ 2 + bx _ x 2 + c D F(x) =   a _  2x 2 +   b _ x + c 661 Ermittle eine Stammfunktion der rationalen Funktion f mit f(x) =   a n _ x n +   a n – 1 _ x n – 1 + … +   a 2 _  x 2 +   a 1 _ x  . 662 Gib eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x) =   4 + 2x _ x 3 an, die an der Stelle 1 den Funktionswert 2 hat. B ggb 2y5x4p eine Stammfunktion eines Integranden „mit Parametern” berechnen B, D B B B B, D B B B B B ggb 46224x eine Stamm funktion einer rationalen Funktion berechnen B, D B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv