Mathematik HTL 3, Schulbuch

145 3.2 Rechenregeln für die Integration Ich lerne Rechenregeln für die Integration kennen und ihre Herleitung zu verstehen. Ich lerne Rechenregeln für die Integration zu nützen, um Stammfunktionen vieler weiterer Funktionen zu berechnen. Summen- und Faktorregel In Kapitel 2haben wir Rechenregeln für die Differentiation kennengelernt, zum Beispiel die Summenregel: Für zwei differenzierbare Funktionen f und g ist f ± g differenzierbar und (f ± g)’ = f’ ± g’. Also ist f ± g eine Stammfunktion für f’ ± g’. Weil f und g Stammfunktionen von f’ und g’ sind, bedeutet das: Stammfunktionen der Summe oder Differenz zweier Funktionen sind Summe oder Differenz von Stammfunktionen dieser zwei Funktionen, kurz: :    (f ± g) (t) dt = :    f(t)dt ± :    g(t)dt + c Beispiel: :    (sin(x) + cos(x))dx = :    sin(x)dx + :    cos(x)dx = ‒ cos(x) + sin(x) + c Für eine Zahl a und eine differenzierbare Funktion ist (a·f)’ = a·f’. Also ist a·f eine Stamm funktion für a·f’. Daher gilt: Eine Stammfunktion des Vielfachen einer Funktion ist ein Vielfaches einer Stammfunktion dieser Funktion, kurz: :    (a·f)(t)dt = a· :    f(t)dt + c Beispiel: :    4x 3 dx = 4· :    x 3 dx = 4·  1 _ 4 x 4 + c = x 4 + c 645 Berechne eine Stammfunktion der Funktion f mit f(t) = 3sin(t) + 2t 3 – t. Nach der Summenregel und der Faktorregel ist :    f(t)dt = :    (3sin(t) + 2t 3 – t) dt= = :    3sin(t)dt + :    2t 3 dt– :    tdt = 3 :    sin(t)dt + 2 :    t 3 dt – :    tdt = = ‒ 3cos(t) +   1 _ 2 t 4 –   1 _ 2 t 2 + c. 646 Berechne das unbestimmte Integral. Dokumentiere, welche Regel du dabei verwendest. a. :    3x 4 dx c. :      4 _ y dy e. :    7dz g. :    3t   t 3 _ 2 dt b. :    2   1 _ x dx d. :    ye 2 dy f. :      7 _  5z 2 dz h. :    t 2 ·t dt 647 Berechne das unbestimmte Integral. a. :      x 3 _  7 dx b. :      3x 5 _ 8  dx c. :      x _ 2 dx d. :      3 _  5x 4 dx 648 Ermittle das unbestimmte Integral. Dokumentiere, welche Regeln du verwendest. a. :    (3x+ 1) dx c. :    2  1 +   1 _ y   3 dy e. :      3 + z _ z 2 dz g. :    (2t + 4) 2 dt b. :    2 2x 3 –   x 2 _  2   3 dx d. :    2  3 –   2 _  y 2   3 dy f. :      1 – 9 _ z _ z  dz h. :    (5t – 3) 2 dt Summenregel der Integration Faktorregel der Integration B ggb zr6539 eine Stamm funktion mithilfe der Summen- und Faktorregel berechnen B, C B B, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv