Mathematik HTL 3, Schulbuch

144 Integralrechnung 638 Die Beschleunigung eines Zeitfahrers zum Zeitpunkt t Sekunden nach dem Start bei einem Bahnradrennen kann annähernd durch die Funktion a mit a(t) = 9t 2 ·0,368 t angegeben werden. Verwende zum Auffinden der Stammfunktionen ein CAS. a. Berechne, zu welchem Zeitpunkt das Rennrad die maximale Beschleunigung erreicht, und gib die maximale Beschleunigung in m/s 2 an. b. Gib die Funktion v an, die jedem Zeitpunkt t die Geschwindigkeit in m/s zuordnet. Dabei soll v(0) = 0 sein. c. Gib die Funktion s an, die jedem Zeitpunkt t den bislang zurückgelegten Weg in m zuordnet. Dabei soll s(0) = 0 sein. d. Ermittle aus deinem Resultat von Aufgabe c. , wie lange der Radrennfahrer für seinen ersten Kilometer benötigt. Wie groß ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit auf dieser Strecke? 639 Die Geschwindigkeit eines Motorrads wurde in einem Diagramm aufgezeichnet. a. Finde eine Funktion, die die Geschwindigkeit des Motorrads in km/h in den ersten 30 s annähernd beschreibt. Wähle dafür eine Funktion v für beschränktes Wachstum vom Typ v(t) = K·(1 – c·a t ). b. Ändere die in Aufgabe a. gefundene Funktion so ab, dass die zum Zeitpunkt t berechnete Geschwindigkeit in m/s angegeben wird. Verwende für die weiteren Berechnungen die Funktion v mit v(t) = 55·(1 – 0,85 t ). c. Ermittle daraus die Funktion s, die jedem Zeitpunkt t den zurückgelegten Weg des Motorrads in Meter zuordnet. Achte dabei darauf, dass s(0) = 0 ist. d. Berechne, wie lange das Motorrad braucht, um 200m zurückzulegen. 640 Sucht mithilfe des Internets mit dem Stichwort „Beschleunigungsdiagramme” Geschwindigkeits­ verläufe von verschiedenen Fahrzeugen. Wählt mindestens drei verschiedene aus und vergleicht dann, wie lange die Fahrzeuge brauchen, um jeweils einen Weg von 100m zurückzulegen. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kenne die Integration als Umkehrung der Differentiation. 641 Finde für die Polynomfunktion f mit f(x) = x 2 + ​  1 _ 2 ​x – 3 eine Stammfunktion, die an der Stelle 2 den Funktionswert 8 hat. 642 Gib eine Stammfunktion der Funktion f mit f(t) = e t an, deren Graph den Punkt (‒1 1 4) enthält. Ich kenne Stammfunktionen von wichtigen Funktionen. 643 Ordne der Funktion f eine Stammfunktion F zu. a. f(x) = sin(x)  b. f(x) = ‒ cos(x)  c. f(x) = ​  1 __  (cos(x)) 2 ​  d. f(x) = ‒ ​  1 __  (cos(x)) 2 ​  A F(x) = tan(x) B F(x) = ‒ sin(x) C F(x) = ‒ tan(x) D F(x) = ‒ cos(x) 644 Gib eine Stammfunktion der Funktion f an. a. f mit f(t) = e t c. f mit f(u) = a u  (a * R + ) e. f mit f(t) = ​  1 _  t 2 ​ b. f mit f(t) = 2 t d. f mit f(t) = ​  1 _ t ​ f. f mit f(r) = ​ 9 _ r​ (r * R + ) A, B A, B Geschwindigkeit [km/h] Beschleunigungszeit [s] 160 200 240 10 20 30 40 0 40 0 80 120 v C B B B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv