Mathematik HTL 3, Schulbuch

143 3.1 Integration als Umkehrung der Differentiation (Stammfunktionen) 633 Auf dem Mond ist die Gravitationskonstante nur ​  1 _ 6 ​mal so groß wie auf der Erde (g Erde = 9,81m/s 2 ). a. Finde eine Funktion, die jeder reellen Zahl t die Geschwindigkeit eines Objekts in m/s nach t Sekunden zuordnet, wenn das Objekt aus 100m Höhe mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 0m/s auf die Mondoberfläche fällt. b. Zeichne den Graphen dieser Funktion. c. Gib an, wie lange das Objekt braucht, um eine Geschwindigkeit von 3m/s zu erreichen. d. Ermittle eine Funktion, die jeder reellen Zahl t den zurückgelegten Weg des Objekts nach t Sekunden zuordnet. e. Gib an, nach wie vielen Sekunden das Objekt auf dem Mondboden aufschlägt. 634 Die Beschleunigung eines PKW t > 0 Sekunden nach dem Start kann durch die Funktion a mit a(t) = 3,6·0,905 t beschrieben werden. Zum Zeitpunkt 0 s ist seine Geschwindigkeit 0m/s. a. Berechne die Funktion v, die jedem Zeitpunkt t die Geschwindigkeit in m/s zuordnet. b. Berechne die Funktion s, die jedem Zeitpunkt t den zurückgelegten Weg in m zuordnet. a. v ist eine Stammfunktion von a, wobei v(0) = 0 ist. v = ​ :  ​  ​ 3,6·0,905 t ​dt​, also ist v(t) = 3,6·​  0,905 t __  ln(0,905) ​= 3,6·​  ​0,905​ t​ ​ _  ‒0,1  ​+ c = ‒ 36·0,905 t + c. Aus v(0) = ‒ 36 + c = 0 erhalten wir c = 36. Daher ist die gesuchte Funktion v mit v(t) = ‒ 36·0,905 t + 36. b. s ist eine Stammfunktion von v, wobei s(0) = 0 ist. s = ​ :  ​  ​ (‒ 36·0,905 t + 36) dt​, also ist s(t) = ‒ 36·​  0,905 t ​ _ ‒0,1  ​+ 36t + c = 360·0,905 t + 36t + c. Aus s(0) = 360 + c = 0 erhalten wir c = ‒360. Daher ist die gesuchte Funktion s mit s(t) = ‒ 360·0,905 t + 36t – 360. 635 In seiner Ausbildung zum Astronauten wird Herbert in einen Raketenschlitten gesetzt, dessen Beschleunigung nach t Sekunden gleich a(t) = 0,2t 3 – 6t 2 + 40t m/s 2 ist. Der Raketenschlitten beginnt seine Fahrt mit 0m/s, beschleunigt danach und wird schließlich wieder langsamer, bis seine Geschwindigkeit wieder 0m/s beträgt. a. Berechne die Geschwindigkeitsfunktion v und die Wegfunktion s. b. Wie lange dauert die Fahrt im Raketenschlitten? Berechne. c. Zu welchem Zeitpunkt erreicht der Schlitten seine maximale Geschwindigkeit und wie groß ist diese? d. Bestimme die maximale positive und die maximale negative Beschleunigung, der Herbert auf seiner Fahrt ausgesetzt ist. Zu welchem Zeitpunkt tritt sie jeweils ein? e. Welchen Weg legt Herbert auf seiner Fahrt mit dem Raketenschlitten insgesamt zurück? 636 Die Beschleunigung eines Autos zur Zeit t Sekunden ist a(t) = ‒ 0,009t 3 + 0,11t 2 + 0,763tm/s 2 . a. Ermittle die Geschwindigkeitsfunktion v, die jedem Zeitpunkt t > 0 die Geschwindigkeit in m/s zuordnet, wenn das Auto zum Zeitpunkt t = 0 die Geschwindigkeit 0m/s hat. b. Bestimme die Wegfunktion s, die jedem Zeitpunkt t > 0 den insgesamt zurückgelegten Weg in Meter zuordnet. c. Ermittle, welchen Weg das Auto nach 10 s zurückgelegt hat. 637 Ein PKW beschleunigt von 0 km/h auf 100 km/h in 8 s. Wir nehmen dabei vereinfachend an, dass die Beschleunigung während dieser Zeitspanne konstant ist. a. Gib die Beschleunigung in m/s 2 an. b. Berechne, welchen Weg das Auto während dieser 8 s zurücklegt. A, B A, B Berechnungen für beschleunigende Fahrzeuge A, B A, B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv