Mathematik HTL 3, Schulbuch

142 Integralrechnung 628 Berechne. a. :    sin(x) dx b. :    cos(y) dy c. :    e z dz d. :    3 t dt 629 Zeichne zu dem Graphen den Graphen einer Stammfunktion ein. a. b. c. d. 630 Gib zwei Stammfunktionen der Funktion f an. a. f(x) = sin(x) b. f(x) = cos(x) c. f(x) = e x d. f(x) = 2 x e. f(x) =   1 _  x f. f(x) =   1 _  cos 2 (x) 631 Ermittle eine Stammfunktion der Funktion f: R ¥ R , die an der Stelle a den Funktionswert F(a) hat. a. f(x) = sin(x); F(0) = 1 c. f(x) = e x ; F(1) = 2 e. f(x) =   1 _  x 2 ; F(3) = 2 b. f(x) = cos(x); F( π ) = 2 d. f(x) = 3 x ; F(0) = ‒ 2 f. f(x) = x   1 _ 2 ; F(2) = ‒1 632 Galileo Galilei ließ einen Apfel vom schiefen Turm von Pisa fallen, der 54,75m hoch ist. a. Beschreibe die Funktion, die jeder reellen Zahl t die Geschwindigkeit in m/s des Apfels nach t Sekunden zuordnet, wenn die Anfangsgeschwindigkeit 0 ist und die Erdbeschleunigung konstant g = 9,81m/s 2 beträgt. b. Berechne, wie lange der Apfel braucht, um eine Geschwindigkeit von 5m/s zu erreichen. c. Beschreibe die Funktion, die jeder reellen Zahl t den vom Apfel nach t Sekunden zurückgelegten Weg zuordnet. d. Wie lange braucht der Apfel, bis er am Boden aufschlägt? Berechne. a. Die gesuchte Funktion v ist eine Stammfunktion der konstanten Funktion g, ordnet also jeder reellen Zahl t die Zahl v(t) = g·t + c zu, dabei muss v(0) = 0 sein. Also ist g·0 + c = c = 0 und v(t) = g·t. b. Es ist 5 = v(t) = g·t genau dann, wenn t =   5 _ g =   5 _  9,81 ≈ 0,51 ist, also erreicht der Apfel nach 0,51 s die Geschwindigkeit von 5m/s. c. Die gesuchte Wegfunktion s ist eine Stammfunktion der linearen Funktion v, ordnet also jeder reellen Zahl t die Zahl s(t) =   g _ 2 ·t 2 + c zu. Wegen 0 = s(0) =   g _ 2 ·0 2 + c ist c = 0, also ist s(t) =   g _ 2 ·t 2 . d. Es ist 54,75 = s(t) =   g _ 2 ·t 2 genau dann, wenn t = 9 ____ 54,75·  2 _ g = 9 ___   109,5 _  9,81  ≈ 3,34 ist. Der Apfel schlägt also nach ca. 3,34 s am Boden auf. B B ggb 4z35dh x y 0 - 2 -4 2 4 - 2 2 4 x y 0 - 2 -4 2 4 - 2 2 4 x y 0 - 2 -4 2 4 - 2 2 4 x y 0 - 2 -4 2 4 - 2 2 4 B B A, B Berechnungen zum freien Fall ggb/mcd/tns vf92ft Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv