Mathematik HTL 3, Schulbuch

141 3.1 Integration als Umkehrung der Differentiation (Stammfunktionen) Stammfunktionen von Winkelfunktionen und Exponentialfunktionen Für alle reellen Zahlen t ist sin’(t) = cos(t). Daher gilt: Für alle reelllen Zahlen t ist :    cos(t) dt= sin(t) + c, also ist die Sinusfunktion eine Stammfunktion der Cosinusfunktion. Für alle reellen Zahlen t ist cos’(t) = ‒ sin(t). Daher gilt: Für alle reelllen Zahlen t ist :    sin(t) dt= ‒ cos(t) + c, also ist das (‒1)-Fache der Cosinusfunktion eine Stammfunktion der Sinusfunktion. Die Ableitung der Tangensfunktion f mit f(t) = tan(t) =   sin(t) _ cos(t) ist die Funktion f’ mit f’(t) = tan’(t) = (cos(t)) 2 +   (sin(t)) 2 __ (cos(t)) 2 =   1 __  (cos(t)) 2 . Daher gilt: Für alle reellen Zahlen t ist :    1 __  (cos(t)) 2 dt= tan(t) + c, also ist die Tangensfunktion eine Stammfunktion der Funktion f mit f(t) =   1 __  (cos(t)) 2 . Die Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis e, also der Funktion f mit f(t) = e t , ist die Exponentialfunktion selbst, also f’ mit f’(t) = e t . Die Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis a, also der Funktion g mit g(t) = a t , ist die Funktion g’ mit g’(t) = a t ·ln(a). Daher gilt: Für alle reellen Zahlen t ist :    e t dt= e t + c, das heißt, die Exponentialfunktion zur Basis e ist eine Stammfunktion von sich selbst. :    a t dt=   1 _  ln(a)  a t + c (a > 0), das heißt, das   1 _  ln(a) -Fache der Exponentialfunktion zur Basis a > 0 ist eine Stammfunktion der Exponentialfunktion zur Basis a. 627 Berechne eine Stammfunktion der Funktion f mit f(t) = 2 t , deren Funktionswert an der Stelle 3 gleich 4 ist. Es ist :    f(t) dt= :    2 t dt=   1 _  ln(2) ·2 t + c. Der Funktionswert dieser Stammfunktion an der Stelle 3 ist 4 =   1 _  ln(2) ·2 3 + c =   1 _  ln(2) ·8 + c. Daher ist c = 4 –   1 _  ln(2) ·8. Die gesuchte Stammfunktion ist somit die Funktion F mit F(t) =   1 _  ln(2) ·2 t + 4 –   1 _  ln(2) ·8. Stamm funktionen der Cosinus funktion Stamm funktionen der Sinusfunktion Stamm funktionen von t ¦   1 __  (cos(t)) 2 Stamm funktionen der Exponential- funktion B eine Stamm- funktion einer Exponential funktion berechnen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv