Mathematik HTL 3, Schulbuch

14 Konvergente Folgen und stetige Funktionen 21 Überlege, ob die Folge konvergiert oder divergiert. Begründe. a. k 2, ‒ 2, 2, ‒ 2, 2, …, (‒1) n 2, … l d. k  1,   1 _ 2 ,   1 _ 4 ,   1 _ 8 ,   1 _  16 , …, 2 ‒n , …  l b. k  1, ‒   1 _  2 ,   1 _ 4 , ‒   1 _ 8 , …, (‒1) n 2 ‒n , …  l e. k 1, ‒ 2, 4, ‒ 8, 16, …, (‒ 2) n , … l c. k 17, 17, 17, 17, …, 17, … l f. k 256, 64, 16, 4, …, 256·4 ‒n , … l 22 Begründe, warum die Folge k 0,4 n l gegen 0 konvergiert. 23 Das radioaktive Element Uran 235 hat eine Halbwertszeit von ca. 703,8Mio. Jahren. Somit ist nach 703,8Mio. Jahren von 1 kg Uran 235 noch   1 _ 2 kg vorhanden und nach 2·703,8Mio. Jahren noch   1 _ 4 kg. Mit f n bezeichnen wir die Masse des nach n·703,8Mio. Jahren von ursprünglich 1 kg noch vorhandenen Urans 235. a. Zeige, dass die Folge k f n l gegen 0 konvergiert. b. Nach wie viel Jahren ist von ursprünglich 1 kg Uran 235 nur noch   1 _  1024 kg, also etwas weniger als ein Gramm, übrig? Berechne. 24 Eine geometrische Folge hat das Anfangsglied a und den Quotienten q. Gibt es einen Grenzwert? Wenn ja, welche Zahl ist er? Begründe. a. a = 3; q = 1 A 1 B 3 C 4 D   1 _ 3 E es gibt keinen Grenzwert b. a = ‒ 3; q =   1 _ 2 A ‒ 3 B   3 _ 2 C 0 D   1 _ 2 E es gibt keinen Grenzwert c. a =   1 _ 2 ; q = 2 A   1 _ 2  B 2 C 0 D 1 E es gibt keinen Grenzwert d. a = 1 024; q = ‒1 A 1 B ‒1 C 1 024 D 0 E es gibt keinen Grenzwert e. a = 81; q = ‒   1 _ 3 A 0 B ‒ 27 C 3 D 1 E es gibt keinen Grenzwert 25 In der Tabelle sind das Anfangsglied a 0 , der Quotient q, ein Index n oder das entsprechende Folgenglied a n einer geometrischen Folge angegeben. Ergänze die fehlenden Zahlen in der Tabelle. Wenn ein Grenzwert existiert, gib auch diesen an. a 0 q n a n Grenzwert a. 1 0,5 4 b. 0,5 2 0,5 c. ‒1 49 ‒1 d. ‒ 0,2 3 ‒ 0,04 26 Arbeitet zu zweit. Findet eine streng monoton wachsende und eine streng monoton fallende Folge, die konvergieren. Findet den Grenzwert dieser Folgen und stellt ihre Graphen dar. Findet eine streng monoton wachsende und eine streng monoton fallende Folge, die nicht konvergieren. Stellt die Graphen dieser Folgen dar. Vergleicht dann eure Ergebnisse mit denen einer anderen Gruppe. Dokumentiert die Gemeinsamkeiten der Folgen und präsentiert sie der Klasse. 27 Überlege mit zwei Mitschülerinnen oder Mitschülern, was Sätze wie „Das Vertrauen der Kunden in die Bank X konvergiert gegen 0“ oder „Meine Freizeit konvergiert gegen 0“ bedeuten. Besteht ein Zusammenhang zur Konvergenz von Folgen? Wenn ja, welcher? C, D D B, D B, D B A, C A, C Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv