Mathematik HTL 3, Schulbuch

138 Integralrechnung Die Ableitung der Potenzfunktion mit rationalen Exponenten r ≠ 1 mit f(x) =   1 _  r + 1 x r + 1 ist die Funktion f’ mit f’(x) = x r . Daher gilt: Für r ≠ ‒1 ist :    x r dx=   1 _  r + 1 x r + 1 + c. Beispiel: Eine Stammfunktion der Potenzfunktion f mit f(x) = 2x   2 _ 3 ist :    2x   2 _ 3 dx= 3x   5 _ 3 + c. Die Ableitung der Logarithmusfunktion f: R + ¥ R mit f(x) = ln(x) ist die Funktion f’: R + ¥ R mit f’(x) =   1 _ x . Daher gilt: Auf R + ist :      1 _ x dx= ln(x) + c. 601 Berechne eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x) = 2x 4 – 3x 3 + 5, deren Funktionswert an der Stelle 1 gleich 1 ist. Die Stammfunktion von f ist F mit F(x) =   2 _ 5 x 5 –   3 _ 4 x 4 + 5x + c und F(1) = 1. Wegen F(1) = 1 =   2 _ 5 –   3 _ 4 + 5 + c muss c = ‒   73 _ 20 sein, also ist die gesuchte Stammfunktion F mit F(x) =   2 _ 5 x 5 –   3 _ 4 x 4 + 5x –   73 _ 20 . 602 Finde eine Stammfunktion der Funktion f. a. f(x) = x c. f(x) = 3x 2 e. f(x) = x 3 g. f(x) = 1 i. f(x) =   1 _ 3 x 2 b. f(x) = 2x d. f(x) =   1 _ 2 x 2 f. f(x) = 2x 3 h. f(x) = 0 j. f(x) = 5x 5 603 Gib eine Stammfunktion der Funktion f an. a. f(x) = x + 1 c. f(x) = 1 – x e. f(x) = x + x 2 g. f(x) = 3 + x + x 2 i. f(x) = x 3 + x b. f(x) = 4x + 1 d. f(x) = 3 –   x _ 2 f. f(x) = 1 – x 2 h. f(x) = 3x 2 + 2x + 1 j. f(x) = x 4 604 Gib an, welche der Funktionen eine Stammfunktion der Polynomfunktion f mit f(x) = 4x 2 + x ist. Begründe. A F(x) = 4x 3 +   1 _ 2 x 2 + c B F(x) = 2x 3 +   1 _ 2 x 2 + c C F(x) = 4 2    1 _ 3 x 3 +   1 _ 2 x 2 3 + c D F(x) =   4 _ 3 x 3 +   1 _ 2 x 2 + c 605 Finde eine Stammfunktion von f mit f(x) = 2x 2 + x + 4, die an der Stelle 0 den Funktionswert 5 hat. 606 Stelle den Graphen von drei verschiedenen Stammfunktionen der linearen Funktion f mit f(x) = x + 1 in einem Diagramm dar. 607 Finde eine Stammfunktion der Polynomfunktion f so, dass der Punkt P auf dem Graphen der Stammfunktion liegt. a. f(x) = x; P = (2 1 ‒1) b. f(x) = 5; P = (1 1 6) c. f(x) =   1 _ 3 x 2 ; P = (1 1 ‒1) d. f(x) = x 3 ; P = (0 1 1) Stamm funktionen von Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten r ≠ ‒1 Stamm funktionen der Funktion x ¦   1 _  x B eine Stamm- funktion berechnen ggb/mcd/tns 62t4e7 B B B, D B B B Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv