Mathematik HTL 3, Schulbuch

137 3.1 Integration als Umkehrung der Differentiation (Stammfunktionen) positiven Zahl die Zahl 1 und jeder negativen Zahl die Zahl ‒1 zuordnet, ist nicht konstant, ihre Ableitung ist aber die Nullfunktion. Zurück zum fallenden Stein: Die Geschwindigkeit v ist eine Stammfunktion der konstanten Funktion g. Es ist v(t) = g·t + c, dabei ist c eine Zahl. Bei konstanter Beschleunigung ist die Geschwindigkeit also eine lineare Funktion. Wegen v(0) = g·0 + c = c ist v(t) = g·t + v(0), dabei ist v(0) die „Anfangsgeschwindigkeit”, also die Geschwindigkeit des Steins zur Zeit 0. Der Stein hat also nach t Sekunden die Geschwindigkeit g·t + v(0)m/s, wobei v(0) seine Geschwindigkeit zur Zeit 0 ist. Die Funktion s ist eine Stammfunktion von v. Wenn wir F mit F(t) =   g _ 2 ·t 2 + v(0)·t differenzieren, erhalten wir F’(t) = g·t + v(0). Daher ist F eine Stammfunktion von v und für alle Zahlen t ist s(t) =   g _ 2 ·t 2 + v(0)·t + d, dabei ist d eine Zahl. Wegen s(0) =   g _ 2 ·0 2 + v(0)·0 + d = d ist daher für alle reellen Zahlen t s(t) =   g _ 2 ·t 2 + v(0)·t + s(0). Der Stein hat nach t Sekunden also   g _ 2 ·t 2 + v(0)·t + s(0) Meter zurückgelegt, dabei ist v(0)m/s die Geschwindigkeit, die er zur Zeit 0 bereits hatte, und s(0) Meter der Weg, den er zur Zeit 0 bereits zurückgelegt hatte. Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen In Kapitel 2 haben wir von einigen wichtigen Funktionen die Ableitung bestimmt. Wir können damit sofort Stammfunktionen von diesen Ableitungen angeben. Die Ableitung der Funktion f mit f(x) =   1 _  n + 1 ·x n + 1 (n * N ) ist die Funktion f’ mit f’(x) =   n + 1 _ n + 1 ·x n = x n . Daher gilt: Für n * N ist :    x n dx=   1 _  n + 1 ·x n + 1 + c. Beispiel: Eine Stammfunktion der Potenzfunktion f mit f(x) = x 3 ist :    x 3 dx=   1 _ 4 x 4 + c. Die Ableitung der Polynomfunktion f mit f(x) =   1 _  n + 1 a n x n + 1 +   1 _ n a n – 1 x n + … +   1 _ 2 a 1 x 2 + a 0 x (a 0 , a 1 , …, a n * R ) ist die Funktion f’ mit f’(x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 . Daher gilt: Für reelle Zahlen a 0 , …, a n ist :    a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 dx=   1 _  n + 1 a n x n + 1 +   1 _  n a n – 1 x n + … + a 0 x + c. Beispiel: Eine Stammfunktion der Polynomfunktion f mit f(x) = 2x 5 + x 3 – 2x – 1 ist :    2x 5 + x 3 – 2x – 1 dx=   1 _ 3 x 6 +   1 _ 4 x 4 – x 2 – x + c. Stamm funktionen einer Potenz- funktion Stamm funktionen einer Polynom- funktion Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv