Mathematik HTL 3, Schulbuch

136 3.1 Integration als Umkehrung der Differentiation (Stammfunktionen) Ich lerne die Integration als Umkehrung der Differentiation kennen. Ich lerne Stammfunktionen von wichtigen Funktionen kennen. Wir beobachten einen Stein, der senkrecht zu Boden fällt. Nach t Sekunden hat der Stein die Geschwindigkeit v(t)m/s und hat s(t)m zurückgelegt. Lassen wir den Luftwiderstand außer Betracht, so ist die Beschleunigung g, die er durch die Erdanziehung erfährt, zu jedem Zeitpunkt gleich, nämlich ungefähr 9,81m/s 2 . Wir betrachten die (Momentan) Geschwindigkeit v, den Weg s und die Beschleunigung g als Funktionen, die jedem Zeitpunkt t (in Sekunden) die Geschwin digkeit v(t), den zurückgelegten Weg s(t) und die Beschleunigung g(t) nach t Sekunden zuordnen. Die Funktion g ist dabei konstant. Nach Definition ist die Geschwindigkeit die Ableitung des Weges, also ist für alle reellen Zahlen t v(t) = s’(t) =  ˙ s (t). Die Beschleunigung ist als Ableitung der Geschwindigkeit definiert, also ist für alle reellen Zahlen t g = g(t) = v’(t) =  ˙ v (t). Wir kennen g, also die Ableitung der Geschwindigkeit. Können wir daraus für jede Zahl t die Geschwindigkeit v(t) bestimmen? Wenn wir dann die Geschwindigkeitsfunktion v kennen, können daraus für jede Zahl t den in t Sekunden zurückgelegten Weg s(t) bestimmen? Allgemein formuliert: Können wir eine Funktion berechnen, deren Ableitung vorgegeben ist? Eine differenzierbare Funktion F heißt Stammfunktion einer Funktion f, wenn f die Ableitung von F ist, also F’ = f ist. Oft schreiben wir F = :    f(t) dt für eine Stammfunktion, wobei statt t auch ein beliebiges anderes Zeichen verwendet werden kann. Die Funktion f heißt dann der Integrand und eine Stammfunktion F ein (unbestimmtes) Integral von f. Eine Stammfunktion einer Funktion f bestimmen heißt integrieren . Häufig schreibt man statt F = :    f(t) dtauch F(t) = :    f(t) dt , auch wir werden diese Schreibweise im Folgenden verwenden. Aber Vorsicht: Mit F(t) wird dann die Funktion F und nicht ihr Funktionswert F(t) an der Stelle t bezeichnet! Die Ableitung einer konstanten Funktion c ist 0. Wenn daher F eine Stammfunktion von f ist, dann ist wegen (F + c)’ = F’ + c’ = f + 0 = f auch F + c eine Stammfunktion von f. Wenn zwei differenzierbare Funktionen F und G Stamm funktionen derselben Funktion f sind, dann ist (F – G)’ = F’ – G’ = f – f = 0. Ist F eine Stammfunktion von f, dann erhält man alle anderen Stammfunktionen, indem man zu F eine beliebige Funktion (zum Beispiel eine konstante Funktion c) addiert. Wir schreiben das oft in der Form :    f(t) dt= F + c. Man kann zeigen, dass eine Funktion, die auf einem Intervall oder ganz R definiert ist und deren Ableitung die konstante Funktion 0 ist, eine konstante Funktion sein muss. Ohne die Bedingung an den Definitionsbereich muss das nicht so sein: Die auf R \{0} definierte Funktion, die jeder ggb u6gd3a Stammfunktion Integrand unbestimmtes Integral integrieren wenn F eine Stammfunktion von f ist, dann auch F + c Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv