Mathematik HTL 3, Schulbuch

134 Zusammenfassung: Differentialrechnung 591 Für welche reellen Zahlen a ist der Winkel zwischen der xAchse und der Tangente der Polynom funktion f mit f(x) =   1 _ 3 x 3 – 2x 2 + 3x + 3 an der Stelle a gleich 45°? Gib eine Gleichung für jede dieser Tangenten an. 592 Für eine Eisenbahn ist eine Gleisverbindung zwischen zwei parallel verlaufenden Gleisen in einem Abstand von 5m wird eine 40m lange Verbindung geplant. Die Gleisverbindung soll an beiden Gleisen parallel anschließen. a. Fertige eine Skizze an und finde eine Polynomfunktion, deren Graph die Gleisverbindung gut nähert. b. Berechne den maximalen Gleiswinkel, den das Schienenfahrzeug auf der Verbindung zu befahren hat. c. Ermittle, wie lang die Gleisverbindung sein darf, wenn der maximale Kurvenwinkel 7,2° nicht übersteigen soll. Löse das auftretende Gleichungssystem mithilfe eines CAS. 593 Berechne, in welchen Punkten des Graphen der Funktion der Winkel zwischen der xAchse und der Tangente gleich a ist. a. f: R ¥ R , t ¦ ‒ t 3 + 2t 2 + 2t – 6; α = 35° c. h: R ¥ R , x ¦   1 _ 2 x 2 – 3x + 4; α = 30° b. g: R ¥ R , t ¦ t 3 – 3t 2 + t + 2; α = 55° d. i: R ¥ R , x ¦ ‒   1 _ 4 x 2 + 5x – 7; α = 60° 594 Zeichne den Graphen der Funktion (Logistische Verteilung) f: R ¥ R , x ¦   e ‒(x + 1) __  (1 + e ‒(x + 1) ) 2 mithilfe eines CAS und bestimme dann das lokale Maximum der Funktion. 595 Die Funktionen sinh („Sinus hyperbolicus”) und cosh („Cosinus hyperbolicus”) sind für alle t * R durch sinh(t) =   e t – e ‒t _ 2  und cosh(t) =   e t + e ‒t _ 2  definiert. In einer Formelsammlung findet sich, dass die Funktion cosh die Ableitung der Funktion sinh ist. Überprüfe das. 596 Eine Polynomfunktion mit Grad 3 und Leitkoeffizient   1 _ 2 hat 4 als Nullstelle. Ihr Graph schneidet die yAchse im Punkt (0 1 ‒12). Ihre zweite Ableitung an der Stelle ‒1 ist 0. Berechne die vier Koeffizienten dieser Funktion. 597 Von einer Polynomfunktion mit Grad 3 sind die Funktions werte von f und den ersten drei Ableitungen von f an der Stelle ‒1 bekannt. Bestimme die vier Koeffizienten der Polynomfunktion. 598 Diskutiere die rationale Funktion r mit r(x) =   x 3 + 5x 2 + 4x __  5x – 5  und skizziere dann den Graphen der Funktion. 599 Berechne alle Nullstellen der Funktion f mit f(t) = (‒1,5t 2 + 1,5t + 3)e t . Berechne alle Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte und Gleichungen der Wendetangenten des Graphen von f. 600 Überprüfe die Aussagen für die Polynomfunktion f mit f(x) = x 3 + 5x 2 + 2x – 8. Gib an, welche richtig sind, und begründe die Entscheidung. A ‒1 ist eine Nullstelle von f. B ‒   5 _ 3 ist eine Wendestelle von f. C Die Funktion hat drei Nullstellen. D Die Funktion hat ein Extremum an der Stelle 0 mit Extremwert ‒8. A, B A, B B B, C D A, B A, B f(‒1) f’(‒1) f’’(‒1) f’’’(‒1) ‒10 10 ‒10 6 B B D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv