Mathematik HTL 3, Schulbuch

13 1.1 Grenzwerte von Folgen Eine Folge k f n l ist konvergent , wenn sie einen Grenzwert hat. In diesem Fall sagen wir, dass die Folge gegen den Grenzwert konvergiert . Wir schreiben für „die Folge k f n l konvergiert gegen c“ kurz: lim    n ¥• f n = c. Sprechweise: „Der Limes (oder Grenzwert) der Folge k f n l für n gegen unendlich ist c.“ Das Wort limes ist das lateinische Wort für Grenze. Wenn eine Folge keinen Grenzwert hat, dann heißt sie divergent . Achtung Die Sprechweise „n gegen unendlich“ darf nicht dazu verleiten, „unendlich“ als eine Zahl aufzufassen. Beispiele: Für jede reelle Zahl c konvergiert die Folge k c, c, c, …, c, … l gegen c, der Abstand jedes Folgengliedes zu c ist ja 0. Die Folge k  1,   1 _ 2 ,   1 _ 3 , …,   1 _ n , …  l konvergiert gegen 0. Denn: Zu jeder positiven reellen Zahl ε gibt es eine Zahl m so, dass   1 _  m < ε ist. Für alle größeren Zahlen n ist dann   1 _ n <   1 _  m < ε . Die Folge k 1, 2, 3, …, n, … l = k n l ist divergent. Die Folge k 1, ‒1, 1, ‒1, …, (‒1) n , … l ist divergent. Es hat zwar jedes zweite Folgenglied von ‒1 den Abstand 0, aber alle anderen Folgenglieder haben den Abstand 2 von ‒1. 18 Zeige, dass die geometrischen Folge k q n l für 0 < q < 1 gegen 0 konvergiert. Wenn uns jemand eine positive Zahl ε vorgibt, müssen wir eine natürliche Zahl m so finden, dass für alle natürlichen Zahlen n, die größer als m sind, der Abstand † q n – 0 † zwischen q n und 0 kleiner als ε , also q n < ε ist. Wegen 0 < q < 1 ist die Folge k q n l streng monoton fallend. Es genügt also, eine natürliche Zahl m so zu finden, dass q m < ε ist. Da die Logarithmusfunktion streng monoton wachsend ist, ist das genau dann der Fall, wenn m·ln(q) = ln(q m ) < ln( ε) ist. Wegen q < 1 ist ln(q) < 0, also folgt aus m·ln(q) < ln( ε) , dass m >   ln( ε) _ ln(q) sein muss. Da wir zu jeder reellen Zahl eine natürliche Zahl finden können, die größer ist, gibt es eine solche Zahl m. Daher konvergiert k q n l für q < 1 gegen 0. Eine geometrische Folge mit Quotient q ≠ 0 konvergiert gegen 0, wenn ‒1 < q < 1 ist. Eine geometrische Folge konvergiert gegen das Anfangsglied, wenn q = 1 ist. Für andere Quotienten q ist eine geometrische Folge (mit von 0 verschiedenem Anfangsglied) divergent. 19 Gib an, ob die durch das Anfangsglied a und den Quotient q gegebene geometrische Folge konvergiert oder divergiert. a. a = 1; q =   1 _ 3 b. a = ‒ 2; q =   1 _ 2 c. a = 3; q = ‒1 d. a =   1 _  512 ; q = 2 20 Finde eine natürliche Zahl m so, dass † a n – 0 † < ε für alle n º m ist. a. a n = 2    1 _ 2   3 n ; ε = 0,01 b. a n = 2    3 _ 5   3 n ; ε = 0,001 c. a n =   2 _  3 n ; ε = 0,0001 d. a n =   5 _  2 n ; ε = 0,00001 konvergente Folge divergente Folge D zeigen, dass die geometri- sche Folge mit Quotient 0 < q < 1 gegen 0 konvergiert Konvergenz von geometrischen Folgen C, D B Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv