Mathematik HTL 3, Schulbuch

128 Differentialrechnung 554 Stelle das NewtonVerfahren zur Berechnung einer Nullstelle der Funktion f mit f(z) = cos(z) – z mit dem Startwert z 0 = ​  1 _ 2 ​mithilfe einer DGS graphisch dar. Zeichne dafür die Tangenten und deren Schnittpunkte mit der xAchse für die ersten vier Schritte ein. 555 Gegeben ist die Funktion f mit f(s) = ​  e ‒s _  2 – s 2 ​ . Bestimme ihre Extremstellen und Nullstellen mithilfe eines CAS. Führe dann das NewtonVerfahren mit einem Startwert  a. in einer Extremstelle und  b. in einer Nullstelle durch. Was passiert? Begründe. 556 Wende für die Funktion f mit f(t) = ​  cos(t) _ t  ​das NewtonVerfahren an, um eine Nullstelle auf 4 Nachkommastellen genau zu finden. a. Führe das Verfahren für den Startwert t 0 = 2 und den Startwert t 0 = 4 durch. b. Vergleiche die Ergebnisse aus Aufgabe a. und gib die Anzahl der Schritte an, die für das Ergebnis nötig waren. c. Begründe mithilfe einer Zeichnung des Graphen von f die Ergebnisse aus Aufgabe a. 557 Die Quadratwurzel einer Zahl a berechnen heißt, die positive Nullstelle der Polynomfunktion f mit f(x) = x 2 – a zu finden. a. Finde mithilfe des NewtonVerfahrens eine „Iterationsformel” für das Wurzelziehen. b. Zeige deren Gültigkeit am Beispiel der Quadratwurzeln aus den ersten fünf Primzahlen. 558 Die zu einer Zahl inverse Zahl ​  1 _ a ​zu finden bedeutet das gleiche wie eine Nullstelle der rationalen Funktion r mit r(x) = ​  1 _ x ​– a zu berechnen. a. Finde mithilfe des NewtonVerfahrens eine „Iterationsformel” für die Berechnung von ​  1 _ a ​ . b. Wende das Ergebnis auf die Berechnung von ​  1 _  15 ​an. 559 Durch Probieren soll eine reelle Zahl z mit cos(z + 2) = z gefunden werden. Geht dazu wie folgt vor: Jede und jeder in der Gruppe überlegt sich alleine eine Strategie für das Probieren und hält diese schriftlich fest. Dann löst jeder die Aufgabe nach dieser Strategie und hält die Zwischenergebnisse und die Anzahl der nötigen Schritte fest. Vergleicht nun die Ergebnisse. Wer hat die Aufgabe mit den wenigsten Schritten gelöst? Begründet, warum. Nehmt dabei besonders auf den Startwert und dessen Verhältnis zur Anzahl der Versuche Rücksicht. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kann das Bisektionsverfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen stetiger Funktionen anwenden. 560 Zeige mit dem Zwischenwertsatz, dass die Funktion f mit f(t) = † t 2 – 2 † – 1 je eine Nullstelle in den Intervallen ​ 4 ‒ 2; ‒ ​  3 _ 2 ​  5 ​und ​ 4  ​  3 _ 2 ​; 2  5 ​hat. Berechne diese mit dem Bisektionsverfahren auf 2 Nachkommastellen genau. Ich kann das Newton-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen differenzier- barer Funktionen anwenden. 561 Prüfe zunächst, ob die Polynomfunktion f mit f(x) = ‒ ​  1 _ 2 ​x 4 + x 3 – ​  1 _ 2 ​x 2 + x + 2 im Intervall [2; 3] eine Nullstelle hat. Wähle dann in diesem Intervall einen Startwert und finde so mithilfe des NewtonVerfahrens eine Nullstelle der Funktion im gegebenen Intervall. 562 Finde mithilfe des Newton-Verfahrens eine Zahl t im Intervall [0; 1] so, dass cos(2t) = t ist. B  ggb jy3p4v B, D B, C, D A, D A, B B, C, D B, D B, D B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv