Mathematik HTL 3, Schulbuch

127 2.5 Numerische Berechnung von Nullstellen 545 Berechne eine Nullstelle der Polynomfunkton f mit f(x) = x 3 – 2. Es ist f’(x) = 3x 2 . Wir wählen als Startwert 1,5 und erhalten z 1 = 1,5 – ​  f(1,5) _ f’(1,5) ​= 1,296. Die weiteren Rechnungen stellen wir wieder in einer Tabelle dar. z n f(z n ) f’(z n ) z n – ​  f(z n ) _ f’(z n ) ​ 1,5 1,375 6,750 1,296 1,296 0,178 5,041 1,261 1,261 0,005 4,770 1,260 1,260 0,000 4,762 1,260 Die Näherung der Nullstelle ist 1,260. Wir haben mit dem NewtonVerfahren nach 4 Schritten dasselbe Ergebnis wie mit dem Bisektionsverfahren nach 8 Schritten bekommen. 546 Prüfe zunächst, ob die Polynomfunktion f im angegebenen Intervall eine Nullstelle hat (zum Beispiel mithilfe des Zwischenwertsatzes oder durch Zeichnen des Graphen). Wähle dann im Intervall einen Startwert und finde so mithilfe des Newton Verfahrens näherungsweise eine Nullstelle der Funktion im gegebenen Intervall. a. f(x) = x 3 – 2x – 3; [0; 3] c. f(x) = x 4 – 3x 3 + x 2 – 3x + 1; [0; 1] b. f(x) = x 3 – 2x 2 + 2x – 1; [‒ 3; 0] d. f(x) = ‒ x 4 + x 2 – 1; [‒ 2; 2] 547 Finde alle Nullstellen der Funktion. Skizziere dafür zunächst den Graph der Funktion und wende dann das NewtonVerfahren an. a. f mit f(t) = t 4 – 3t 2 + 1 b. g mit g(t) = t·ln​ 2  t + ​  1 _ 2 ​  3 ​ c. h mit h(t) = t – cos(t) 548 Suche für die Funktion die Nullstellen im gegebenen Intervall mithilfe des NewtonVerfahrens. a. a mit a(z) = z – e ‒z ; [0; 3] c. c mit c(z) = z·ln(z) + z; (0; 1] b. b mit b(z) = z 2 – 2 + ​e​ ‒​  z _ 2 ​ ​ ; [0; 2] d. d mit d(z) = z 2 ·ln(z) – z; [2; 4] 549 Berechne mithilfe des NewtonVerfahrens eine Zahl u im angegebenen Intervall, die die angegebene Bedingung erfüllt. a. sin(u 2 ) = 0; [2; 3] c. sin(u 2 – 1) = ​  u _ 4 ​ ; [‒1; 0] e. sin(u) = cos(2u) + 1; [2; 3] b. cos(u 2 ) = 0; [‒ 2; ‒1] d. cos(u 3 + 1) = ​  u _ 8 ​ ; [0; 1] f. sin(u)·cos(3u) = 0; [1; 2] 550 Wende für die Funktion f mit f(t) = ​  sin(t 2 ) _ t  ​das NewtonVerfahren an, um eine Nullstelle auf 4 Nachkommastellen genau zu finden. a. Führe das Verfahren für den Startwert t 0 = 1,3 und den Startwert t 0 = 1,4 durch. b. Vergleiche die Ergebnisse und die Anzahl der Schritte, die für das Ergebnis nötig waren. c. Begründe mithilfe einer Zeichnung des Graphen der Funktion die Ergebnisse aus Aufgabe b. 551 Erklärt anhand der Funktion f: R \{0} ¥ R mit f( α ) = ​  sin(2 α ) _ α  ​, welche Startwerte für das NewtonVerfahren geeignet sind und welche weniger oder nicht. Fasst die Ergebnisse zusammen und vergleicht sie mit den Ergebnissen der anderen Gruppen. Findet eine Strategie, um einen „guten” Startwert für ein Iterationsverfahren zu finden. 552 Finde eine Nullstelle der Polynomfunktion f im angegebenen Intervall mithilfe des Newton Verfahrens auf 3 Nachkommastellen genau. a. f(x) = ​  1 _ 2 ​x 4 – 2x 3 – 3x 2 + ​  1 _ 2 ​x + 1; [0; 1] b. f(x) = ‒ ​  1 _ 2 ​x 4 + 3x 3 + 2x 2 – 4x – 1; [6; 7] 553 Setze das NewtonVerfahren mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms um. Finde dann eine Nullstelle der Polynomfunktion f mit f(x) = ​  1 _ 4 ​x 4 + 2x 3 + 3x 2 – 2x – 1. B  xls/mcd/tns 34f87x Nullstellen mit dem Newton- Verfahren berechnen B, D B B B B, C, D C, D B B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv