Mathematik HTL 3, Schulbuch

126 Differentialrechnung Newton-Verfahren Mit der Differentialrechnung erhalten wir ein besseres Verfahren als das Bisektionsverfahren: Wir betrachten eine Funktion f von einem offenen Intervall nach R und möchten eine Nullstelle von f berechnen. Ist a eine Nullstelle von f, dann ist (a 1 0) ein Schnittpunkt des Graphen von f mit der xAchse. Wir beginnen mit einer Zahl z 0 , in deren Nähe wir eine Nullstelle vermuten. Wir berechnen die Tangente von f an der Stelle z 0 und ersetzen z 0 durch z 1 , die erste Komponente des Schnittpunktes der Tangente mit der xAchse. Um z 1 zu berechnen, schreiben wir die Tangente in Parameterform an {(z 0 1 f(z 0 )) + t·(1 1 f’(z 0 )) ‡ t * R } und berechnen ihren Schnittpunkt mit der xAchse. Die zweite Komponente f(z 0 ) + t·f’(z 0 ) muss 0 sein, also ist t = ‒   f(z 0 ) _ f’(z 0 ) . Dazu müssen wir voraussetzen, dass f’(z 0 ) ≠ 0 ist. Wir erhalten z 1 = z 0 –   f(z 0 ) _ f’(z 0 ) . Wir ersetzen nun z 0 durch z 1 und berechnen auf gleiche Weise den Punkt z 2 = z 1 –   f(z 1 ) _ f’(z 1 ) . Wiederholen wir diesen Vorgang, erhalten wir eine Folge k  z 0 , z 1 , … , z n , z n –   f(z n ) _ f’(z n ) , …  l und hoffen, dass diese gegen eine Nullstelle von f konvergiert. Dieses Verfahren, Nullstellen näherungs weise zu bestimmen, heißt Newton-Verfahren . Ist f eine stetig differenzierbare Funktion von einem offenen Intervall D nach R so, dass f’ in D keine Nullstelle hat, dann kann man in vielen Fällen näherungsweise wie folgt eine Nullstelle von f in D berechnen: Wir wählen eine Zahl z 0 , in deren Nähe wir eine Nullstelle vermuten. Für n = 0, 1, 2, 3, … berechnen wir dann sukzessive die Zahlen z n + 1 = z n –   f(z n ) _ f’(z n ) . Wenn die so berechnete Folge k z 0 , z 1 , z 2 , …, z n , … l konvergiert, dann folgt aus z = lim  n ¥• z n + 1 = lim  n ¥• 2  z n –   f(z n ) _ f’(z n )   3 = lim    n ¥• (z n ) –   lim   n ¥• f(z n ) __ lim   n ¥• f’(z n ) = z –   f(z) _ f’(z) (hier haben wir verwendet, dass f und f’ stetig sind!), dass f(z) = 0, also z eine Nullstelle von f sein muss. Achtung Das NewtonVerfahren führt nicht immer zu einer Nullstelle. Die Funktion f: R ¥ R , t ¦ t·e ‒t hat genau eine Nullstelle und zwar 0. Ihre Ableitung ist f’: R ¥ R , t ¦ (1 – t)e ‒t . Beginnt man mit dem NewtonVerfahren mit z 0 = 2, dann ist z 1 = 2 –   f(2) _ f’(2) = 2 + 2 = 4 und z 2 = 4 –   f(4) _ f’(4) = 4 +   4 _ 3 . Man sieht leicht, dass die Zahlen z i immer größer werden und nicht gegen 0 konvergieren. ggb a3e745 x y f N z 3 z 2 z 1 z 0 Newton- Verfahren x y 0 -1 1 6 5 4 3 2 1 -1 t 1 t 2 z 0 z 1 z 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv