Mathematik HTL 3, Schulbuch

125 2.5 Numerische Berechnung von Nullstellen 539 Berechne eine Nullstelle der Polynomfunktion f mit f(x) = x 3 – 2 so, dass der Fehler kleiner als 0,002 ist. Wir wählen a = 1 und b = 1,5. Weil f(1) = ‒1 und f(1,5) = 1,375 ist, folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass im Intervall [a; b] eine Nullstelle von f liegt. Nun ist f 2    a + b _ 2    3 = ‒ 0,046875, also ersetzen wir a durch   a + b _ 2  = 1,25. Für das neue a ist   a + b _ 2  = 1,375. Wir stellen die weitere Rechnung in einer Tabelle dar. a b   a + b _ 2  f(a) f(b) f 2    a + b _ 2    3 1 1,5 1,25 ‒1 1,375 ‒ 0,047 1,25 1,5 1,375 ‒ 0,047 1,375 0,600 1,25 1,375 1,313 ‒ 0,047 0,600 0,264 1,25 1,313 1,282 ‒ 0,047 0,264 0,105 1,25 1,282 1,266 ‒ 0,047 0,105 0,029 1,25 1,266 1,258 ‒ 0,047 0,029 ‒ 0,009 1,258 1,266 1,262 ‒ 0,009 0,029 0,001 1,258 1,262 1,260 ‒ 0,009 0,001 0,0004 Das Intervall [1,258; 1,262] enthält eine Nullstelle von f und hat die Länge 0,004. Der Abstand von 1,260 von einer Nullstelle ist daher kleiner als 0,002. 540 Prüfe zunächst, ob die Polynomfunktion f im angegebenen Intervall eine Nullstelle hat. Finde in diesem Fall mithilfe des Bisektionsverfahrens auf eine Nachkommastelle genau eine Nullstelle der Funktion im gegebenen Intervall. a. f(x) = x 2 – 4; [‒ 3; 0] c. f(x) = ‒ x 4 – x 3 + 2x 2 + 1; [0; 2] b. f(x) = ‒ x 3 +   1 _ 2 x 2 – 1; [‒ 2; 1] d. f(x) =   1 _ 2 x 4 – 2x 3 + 2x 2 + x – 3; [‒1; 2] 541 Finde eine Nullstelle der Funktion mit dem Bisektionsverfahren auf eine Nachkommastelle genau. a. a mit a(z) = z 3 – 3z 2 + 2z – 5 d. d mit d(z) = e 2z – z 2 b. b mit b(z) =   1 _ 4 z 3 –   1 _ 2 z 2 + z – 1 e. g mit g(z) = sin(z) – z + 1 c. c mit c(z) = e z – 1 – z – 2 f. f mit f(z) = sin 2    z _ 2   3 –   1 _ z 542 Begründe: Sind f und g Funktionen von einer Teilmenge von R nach R , dann ist (s 1 t) genau dann ein gemeinsamer Punkt der Graphen von f und von g, wenn f(s) = g(s) ist. 543 Ermittle durch Zeichnen der Graphen von f und von g eine Zahl s so, dass f(s) = g(s) ist. a. f(x) =   1 _ 3 x 3 – 2x 2 +   1 _ 2 x – 2; g(x) = 0 d. f(x) mit f(x) = e ‒  x _  2 ; g(x) = x b. f(x) = ‒   1 _ 4 x 3 +   1 _  2 x 2 + 3x + 3; g(x) = 0 e. f(x) = cos(x); g(x) = x c. f(x) = e x ; g(x) = ‒ x f. f(x) = sin 2    x _ 2   3 ; g(x) =   1 _ x 544 Erstelle mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms eine Tabelle für das Bisektionsverfahren für Polynomfunktionen bis zum 4. Grad. Gehe dafür wie folgt vor: a. Erstelle Eingabefelder für die Koeffizienten der Polynomfunktion und ein Intervall für die Suche nach Nullstellen. b. Prüfe, ob sich im Intervall eine Nullstelle befindet oder nicht. c. Führe das Bisektionsverfahren durch, sieh dafür maximal 25 Schritte vor. Stelle die berech neten Zahlen übersichtlich in einer Tabelle dar. Orientiere dich dabei an der Musteraufgabe. d. Stelle den Graphen der Funktion und die ermittelte Nullstelle in einem Diagramm dar. e. Überprüfe deine Vorlage mithilfe der Aufgabe 540 c. und d. B Nullstellen mit dem Bisektions- verfahren berechnen ggb/mcd u77r3s B, D B D B, C B, D Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv