Mathematik HTL 3, Schulbuch

124 2.5 Numerische Berechnung von Nullstellen Ich lerne das Bisektionsverfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen stetiger Funktionen anzuwenden. Ich lerne das Newton-Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Nullstellen differenzierbarer Funktionen anzuwenden. Bisektionsverfahren Wir wissen bereits, wie man Nullstellen linearer oder quadratischer Funktionen exakt berechnet: durch Umformen (bei linearen Funktionen) oder durch quadratisch Ergänzen (bei quadratischen Funktionen). Aber wie findet man Nullstellen von anderen Funktionen, zum Beispiel von einer Polynomfunktion mit Grad 10 oder von der Funktion f mit f(x) = 2e x – 3sin(x)? Eine exakte Berechnung der Nullstellen ist dann zumeist nicht mehr möglich, aber es gibt gute numerische Verfahren, um sie näherungsweise zu berechnen. Wenn die Funktion f stetig ist, dann legt der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen das folgen de Verfahren zur Berechnung von Nullstellen nahe: Wähle zwei Zahlen a und b mit a < b so, dass die Vorzeichen der Funktionswerte von f an den Stellen a und b verschieden sind, also f(a)·f(b) < 0 ist. Aus dem Zwischenwertsatz folgt dann, dass f im Intervall [a; b] eine Nullstelle hat. Wenn f 2    a + b _ 2    3 = 0 ist, dann haben wir eine Nullstelle von f gefunden und hören auf. Wenn f 2    a + b _ 2    3 nicht 0 ist, dann ersetzen wir a durch   a + b _ 2  , wenn f(a) und f 2    a + b _ 2    3 das gleiche Vorzeichen haben, andernfalls ersetzen wir b durch   a + b _ 2  . In beiden Fällen ist die Länge des neuen Intervalls [a; b] halb so lang wie das alte und die Funktionswerte an den neuen Stellen a, b haben wieder verschiedenes Vorzeichen. Also enthält auch das neue Intervall [a; b] eine Nullstelle von f. Wiederholen wir diesen Schritt nmal, dann kennen wir ein Intervall der Länge   1 _  2 n (b – a), das eine Nullstelle von f enthält. Dieses Verfahren zur Berechnung einer Nullstelle einer stetigen Funktion heißt Bisektions verfahren. Wenn f: R ¥ R eine stetige Funktion ist und a, b reelle Zahlen mit a < b sind, sodass f(a)·f(b) < 0 ist (also f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen haben), dann erhalten wir eine Nullstelle oder ein Intervall der Länge   1 _  2 n (b – a), das eine Nullstelle von f enthält, wenn wir den folgenden Schritt (höchstens) nmal hintereinander ausführen: Wenn f 2    a + b _ 2    3 = 0 ist, dann ist   a + b _ 2  eine Nullstelle und wir hören auf. Wenn f 2    a + b _ 2    3 ·f(a) > 0 ist, dann ersetzen wir a durch   a + b _ 2  . Wenn f 2    a + b _ 2    3 ·f(a) < 0 ist, dann ersetzen wir b durch   a + b _ 2  . Der Nachteil des Bisektionsverfahrens ist, dass man viele Schritte braucht, um eine gute Näherung der Nullstelle zu bekommen. Intervall neues Intervall x y a b a + b 2 Bisektions verfahren Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv