Mathematik HTL 3, Schulbuch

123 2.4 Zweite Ableitung und quadratische Näherung 531 Von einem Betrieb kennt man die Kostenfunktion K und den Verkaufspreis p. I. K mit K(x) = 0,001x 3 – 0,2x 2 + 180x + 36000 p = 500GE/ME II. K mit K(x) = 0,0005x 3 – 0,15x 2 + 115x + 6250 p = 160GE/ME a. Berechne die Kostenkehre. b. Berechne, für welche Produktionsmenge man das Betriebsoptimum erzielt. c. Gib den BreakEvenPoint und die Gewinngrenze an. d. Berechne den maximalen Gewinn. e. Finde die langfristige Preisuntergrenze und die kurzfristige Preisuntergrenze. 532 Ein Jungunternehmer hat eine Unternehmensberatung beauftragt, eine Analyse zu erstellen. Die Unternehmensberatung hat die Kosten und die Erlöse analysiert und legt dem Unternehmer eine Grafik vor. a. Lies ab, wie hoch die Kosten bei 20ME, 40ME und 80ME sind. b. Bestimme den Typ der Kostenfunktion. c. Lies aus dem Diagramm die Höhe der Fixkosten, die Kostenkehre und den BreakEvenPoint ab. d. Lies aus dem Diagramm den Preis einer ME ab. e. Zeichne den Graphen der Gewinnfunktion. Was habe ich in diesem Abschnitt gelernt? Ich kenne die zweite Ableitung von zweimal differenzierbaren Funktionen und kann damit diese Funktionen lokal durch quadratische Funktionen annähern. 533 Berechne die erste und die zweite Ableitung der Funktion f: R ¥ R , t ¦ sin(2t) an der Stelle 0. Berechne dann die quadratische Näherung von f an der Stelle 0. 534 Ermittle die quadratische Näherung der Funktion f mit f(z) = z·​e​ ​  1 _ z ​ ​an der Stelle 1. Gib an, um wie viel Prozent der Funktionswert der Näherung an der Stelle 1,2 vom tatsächlichen Funktionswert abweicht. Ich kann mithilfe der zweiten Ableitung einer Funktion f entscheiden, ob Nullstellen der Ableitung von f Minimalstellen oder Maximalstellen von f sind. 535 Bestimme die Extremstellen der Funktion f: R ¥ R , x ¦ ​  1 _  x 2 ​·​e​ x ​. Gib an, welche davon Minimum­ stellen oder Maximumstellen sind. Ich kann mithilfe der zweiten Ableitung überprüfen, ob eine zweimal differenzierbare Funktion auf einem Intervall konkav oder konvex ist, und ich kann ihre Wendestellen bestimmen. 536 Bestimme für die Funktion g mit g(x) = ​  1 _ 2 ​x 4 + ​  1 _ 2 ​x 3 – ​  13 _ 2  ​x 2 – ​  1 _ 2 ​x + 6 die Wendestellen sowie die Wendetangenten. Gib an, auf welchen Intervallen die Funktion konvex bzw. konkav ist. 537 Ermittle, ob die Funktion f mit f(x) = ​  1 _  x – 1 ​·​e​ x ​Wendestellen hat, und gib diese an. Ich kann Probleme aus Alltag und Technik mithilfe der Differentialrechnung zu lösen. 538 Ein Produzent möchte Reis in quaderförmige Packungen abfüllen, die ein Volumen von 1 000 cm 3 haben. Aus optischen Gründen soll die Verpackung doppelt so hoch wie lang sein. Ermittle, welche Abmessungen der Produzent wählen soll, damit der Materialbedarf für die Verpackung möglichst klein ist. Rechne ohne Überlappungen oder Falze. B B, C 0 100 200 300 400 500 100 80 60 40 20 0 x[ME] y[GE] K E B B B, C B, C B A, B Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv