Mathematik HTL 3, Schulbuch

121 2.4 Zweite Ableitung und quadratische Näherung Die Preisfunktion ​p​ N ​des Nachfragers ordnet jeder positiven Zahl x den Verkaufspreis pro ME inGE zu, bei dem er bereit ist, xME des Produktes zu kaufen. Die Erlösfunktion E ordnet jeder nicht negativen reellen Zahl x den Erlös x·p N  (x) beim Verkauf von p N  (x)ME zum Preis von xGE pro ME zu. Normalerweise sind Kunden umso mehr zu kaufen bereit, je niedriger der entsprechende Preis ist. Ein niedriger Preis hat also eine größere Nachfrage zur Folge, als ein höherer Preis. Die Preisfunktion des Nachfragers kann also als streng monoton fallend angenommen werden. Mehr kann man im Allgemeinen nicht über die Preisfunktion sagen. So kann der Graph der Preisfunktion des Nachfragers beispielsweise aussehen: Das aus der Produktionsmenge (in ME) und dem zugehörigen Verkaufspreis (inGE/ME), die zum maximalen Gewinn führen, gebildete Zahlenpaar nennt man Cournotschen Punkt . 523 Ein Betrieb arbeitet nach der Kostenfunktion K mit K(x) = 0,004x 3 – 0,36x 2 + 52x + 2312. Die Nachfragefunktion (= Preisfunktion der Nachfrager) ist p N mit p N  (x) = 144 – 0,48x. a. Stelle die Graphen der Erlösund der Kostenfunktion in einem Koordinatensystem dar. b. Gib an, bei welcher Produktionsmenge und welchem Preis man den maximalen Erlös erzielt, und berechne wie groß dieser ist. c. Berechne den Cournotschen Punkt und gib den maximalen Gewinn an. a. Für die Erlösfunktion E gilt E(x) = p N  (x)·x = 144x – 0,48x 2 . Mit einem geeigneten Programm zeichnen wir die Graphen der Kostenund Erlösfunktion. Man sieht, dass der Graph der Erlösfunktion nicht unbegrenzt ansteigt, sondern einen Hochpunkt hat und bei größeren Produktionsmengen wieder sinkt. b. Ist x eine Maximumstelle von E, dann ist E’(x) = 0. Aus E’(x) = 144 – 0,96x = 0 folgt x = 150. Es ist p(150) = 72 und E(150) = 72·150 = 10800. Um den maximalen Erlös von 10800GE zu erzielen, sollte man 150ME produzieren und zu einem Preis von 72GE/ME verkaufen. c. Der Gewinn bei einer Produktion von xME ist G(x) = E(x) – K(x) GE G(x) = 144x – 0,48x 2 – (0,004x 3 – 0,36x 2 + 52x + 2312) G(x) = ‒ 0,004x 3 – 0,12x 2 + 92x – 2312 G’(x) = ‒ 0,012x 2 – 0,24x + 92 G’ hat nur eine positive Nullstelle, nämlich 78,13. Es ist p(78,13) = 106,50 und G(78,13) = 2235,73. Um den maximalen Gewinn von 6051,16GE zu erzielen, sollte man 78,13ME produzieren und zu einem Preis von 106,50GE/ME verkaufen. Der Cournotsche Punkt ist (78,13 1 106,50). Preisfunktion des Nachfragers Erlösfunktion x p N p N (x) x p N p N (x) x p N (x) p N Cournotscher Punkt B  ggb/mcd/tns 3gk728 die Produktions­ menge und den Preis für den maximalen Erlös bzw. Gewinn berechnen 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 175 150 125 100 75 50 25 0 x[ME] y[GE] E K Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv