Mathematik HTL 3, Schulbuch

120 Differentialrechnung Der Differenzenquotient   K(x + 1) – K(x) __ (x + 1) – x  = K(x + 1) – K(x) von K in [x; x + 1] beschreibt die zusätzlich anfallenden Kosten, wenn die Produktion von x ME um eine ME gesteigert wird. Man nennt diese zusätzlichen Kosten Grenzkosten . Wenn die Kostenfunktion differenzierbar ist, werden die Grenzkosten an der Stelle x ungefähr durch die Ableitung von K an der Stelle x beschrieben. Man nennt daher die Ableitung K’ von K die Grenzkostenfunktion . Die Grenzkosten werden in Geldeinheiten pro Mengeneinheit (GE/ME) angegeben. Bleiben die Grenzkosten bei steigender Produktion konstant, so ist die Kostenfunktion linear. Die Grenzkosten werden in diesem Zusammenhang auch als proportionale Kosten bezeichnet. Nehmen die Grenzkosten bei steigender Produktionsmenge zu, so ist die Kostenfunktion konvex und die Kosten wachsen progressiv. Nehmen die Grenzkosten hingegen bei steigender Produk tionsmenge ab, so wachsen die Kosten degressiv. Wenn K die Kostenfunktion ist, dann ist die entsprechende Durchschnittskostenfunktion _ K die Funktion, die jeder Zahl x die Zahl   K(x) _ x  zuordnet, also die Kosten pro Mengeneinheit bei der Produktion von xME. Eine Minimumstelle der Durchschnittskostenfunktion _ Kheißt Betriebsoptimum und wird mit x BO bezeichnet. Bei der Produktion von x BO ME fallen die geringsten Kosten pro ME an. Es muss _ K’(x BO ) = 0 sein. Die Durchschnittskosten werden in Geldeinheiten pro Mengeneinheit (GE/ME) angegeben. 522 Ein Betrieb hat die Kostenfunktion K mit K(x) = 0,005x 3 – 0,4x 2 + 12x + 64000. a. Berechne die Kostenkehre. b. Gib die Durchschnittskostenfunktion _ Kan und ermittle das Betriebsoptimum. c. Bestimme die Durchschnittskosten im Betriebsoptimum. d. Berechne die Grenzkosten im Betriebsoptimum. a. Für alle Zahlen x ist K’(x) = 0,015x 2 – 0,8x + 12 und K’’(x) = 0,03x – 0,8. Die Kostenkehre x ist eine Nullstelle von K’’, also muss 0,03x – 0,8 = 0, also x = 26,67 sein. Die Kostenkehre liegt bei 26,67ME. b. Die Durchschnittskosten bei der Produktion von xME betragen _ K (x) =   K(x) _ x  =   0,005x 3 ‒ 0,4x 2 + 12x + 64000 ____ x  = 0,005x 2 – 0,4x + 12 + 64000x ‒1 GE/ME. Wir leiten _ Kab und erhalten _ K ’(x) = 0,01x – 0,4 – 64000x ‒2 . Für das Betriebsoptimum x BO muss _ K ’(x BO ) = 0 sein, also 0,01x BO 3 – 0,4x BO 2 – 64000 = 0 sein. Diese Gleichung hat genau eine reelle Lösung, nämlich x BO = 200. Das Betriebsoptimum liegt bei 200ME. c. _ K (200) = 452GE/ME d. K’(200) = 452GE/ME Grenzkosten 200 0 400 600 800 1000 1200 1400 14 12 16 10 8 6 4 2 0 x[ME] K(x)[GE] K K’ Durchschnitts- kostenfunktion Betriebsoptimum B Kostenkehre, Betriebs optimum, Durchschnitts- und Grenz kosten berechnen ggb/mcd/tns v7nk4a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv