Mathematik HTL 3, Schulbuch

12 Konvergente Folgen und stetige Funktionen Grenzwerte von Folgen Betrachten wir die streng monoton fallende Folge k  2    1 _ 2   3 n   l k  2    1 _ 2   3 n   l und die streng monoton wachsende Folge k 2 n l : Es besteht noch ein anderer auffälliger Unterschied: Während sich die Folgenglieder von k  2    1 _ 2   3 n   l „der Zahl 0 nähern“ und die Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden Folgengliedern immer kleiner wird, werden die Folgenglieder von k 2 n l beliebig groß und auch die Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden Folgengliedern wird beliebig groß: 2 n + 1 – 2 n = 2·2 n – 2 n = 2 n ·(2 – 1) = 2 n . Was meinen wir eigentlich, wenn wir sagen, dass sich k 2 n l die Folgenglieder von k  2    1 _ 2   3 n   l „der Zahl 0 nähern“? Können wir das genauer formulieren? Wir betrachten irgendeine sehr kleine positive reelle Zahl ε (sprich: „Epsilon“), zum Beispiel   1 _  10000 . Wir finden immer eine natürliche Zahl m so, dass für alle natürlichen Zahlen n, die größer als m sind, der Abstand von 2    1 _ 2   3 n zu 0 kleiner als ε ist. Überlegen wir uns, wie: Damit 2    1 _ 2   3 m =   1 _  2 m kleiner als   1 _  10000 ist, muss 2 m größer als 10000 sein. Zum Beispiel ist 2 14 = 16384 > 10000, also ist 2    1 _ 2    3 14 =   1 _  16384 <   1 _  10000 . Weil die Folge k  2    1 _ 2   3 n   l streng monoton fallend mit positiven Folgengliedern ist, gilt auch für alle n > 14: 2    1 _ 2   3 n <   1 _  10000  So haben wir mit m = 14 eine solche Zahl gefunden. Wählen wir eine noch kleinere Zahl ε , dann können wir mit den gleichen Überlegungen wieder einen Index m finden, sodass alle Folgenglieder mit größerem Index als m höchstens den Abstand ε von 0 haben. Wir müssen m nur so wählen, dass 2    1 _ 2   3 m < ε ist. Weil die Logarithmusfunktion streng monoton wachsend ist, ist 2    1 _ 2   3 m < ε genau dann, wenn ln 2    1 _ 2   3 m = m·ln 2    1 _ 2   3 < ln( ε ) ist. Dividieren wir beide Seiten dieser Gleichung durch ln 2    1 _ 2   3 < 0, so erhalten wir m >   ln( ε ) _ ln 2    1 _ 2   3 . Das heißt: Unabhängig davon, welche Zahl wir vorgeben, kann immer eine solche Zahl gefunden werden. Wir sagen: 0 ist ein Grenzwert der Folge k  2    1 _ 2   3 n   l . Eine Zahl c ist ein Grenzwert oder Limes der Folge k f n l , wenn es zu jeder positiven reellen Zahl ε eine natürliche Zahl m gibt, sodass für alle natürlichen Zahlen n, die größer als m sind, der Abstand zwischen f n und c kleiner als ε , also wenn gilt: † f n – c † < ε ist. n a n 0 0,5 - 0,5 1 3 4 5 6 2 1 n a n 0 8 16 24 32 3 4 5 6 2 1 ggb 4kx3t7 Grenzwert oder Limes einer Folge Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv