Mathematik HTL 3, Schulbuch

118 Differentialrechnung 512 a. Begründe mithilfe der Differentialrechnung, warum die Funktion f mit f(z) = 9 ___ 1 – zfür sehr kleine Argumente z durch die lineare Funktion g mit g(z) = 1 –   z _ 2 angenähert werden kann. b. Zeige, dass 9 _______ l 2 – (r sin( φ )) 2 = l· 9 _______ 1 – 2    r _ l sin( φ )  3 2 ist. c. Argumentiere mithilfe von Aufgabe a. und b. , warum 9 _______ l 2 – (r sin( φ )) 2 ≈ l –   r 2 (sin( φ )) 2 __ 2l  ist. d. In Aufgabe 511 hast du gelernt, dass der dort beschriebene Kolben beim Winkel φ vom Ursprung den Abstand d( φ ) = ‒ l + r + r·cos( φ ) + 9 _______ l 2 – (r sin( φ )) 2  hat. Wähle r = 3 und l = 10 und zeichne den Graphen der entsprechenden Funktion. e. Nähere die Funktion d durch die Funktion g mit g( φ ) = r + r·cos( φ ) –   r 2 sin( φ ) 2 __ 2l  an und zeichne deren Graphen ebenfalls. Vergleiche: Bei welchem Winkel φ unterscheiden sich die Graphen am stärksten? Gib den maximalen absoluten und relativen Fehler an. 513 Die Bremskraft K einer Wirbelstrombremse hängt von der Geschwindigkeit v ab und kann durch die Funktion K mit K(v) =   v _  a 2  + v 2 (a konstant und a > 0, v º 0) beschrieben werden. a. Berechne, bei welcher Geschwindigkeit v die Bremskraft am größten ist. b. Gib an, wie groß die maximale Bremskraft ist. 514 Eine Scheibe rotiert in einer zähen Flüssigkeit. Die Funktion α ordnet jeder nicht negativen reellen Zahl t den Drehwinkel α (t), den die Scheibe nach t Sekunden durchlaufen hat, zu. Es ist α (t) =   1 _ k ·ln(1 + k· ω 0 ·t), wobei k und ω 0 positive Konstanten sind. Berechne die Winkel geschwindigkeit ω , die durch die Ableitung der Funktion α gegeben ist. 515 Die Funktion f mit f(x) = 2·e ‒0,3x ·sin(2x) beschreibt eine gedämpfte Schwingung. a. Zeichne den Graphen der Funktion im Intervall [0; 2 π ]. b. Untersuche, ob die Funktion im Intervall [0; 2 π ] Nullstellen besitzt, und gib diese an. c. Ermittle die Extremstellen der Funktion im Intervall [0; 2 π ]. d. Finde alle Wendestellen der Funktion im Intervall [0; 2 π ]. 516 Die Biegelinie eines beidseitig eingespannten Trägers der Länge L mit konstanter Streckenlast q wird durch den Graphen der Funktion b: [0; L] ¥ R mit b(x) =   q _  24·E·I ·(x 4 – 2·L·x 3 + L 2 x 2 ) beschrieben. Berechne die Stelle der maximalen Durchbiegung, sowie die maximale Durch biegung zunächst allgemein, dann für L = 3,8m und   q _  E·I  = 0,008m ‒3 . Wir fertigen zunächst eine Skizze an. Die Stelle der maximalen Durchbiegung entspricht der Maximstelle der Funktion b. Wir ermitteln daher die Ableitung b’ der Funktion b und erhalten b’(x) =   q _  24·E·I (4x 3 – 6Lx 2 + 2L 2 x). Die Nullstellen von b sind 0,   L _ 2 und L. Um zu prüfen, wo die Maximstelle liegt, bestimmen wir die Ableitung b’’ mit b’’(x) =   q _  24·E·I (12x 2 – 12Lx + 2L 2 ). Es ist b’’(0) =   q _  24·E·I 2L 2 > 0, b’’ 2    L _ 2   3 = ‒   q _  24·E·I L 2 < 0 und b’’(L) =   q _  24·E·I  2L 2 > 0 für alle L > 0. Daher ist   L _ 2 die Stelle der maximalen Durchbiegung. Die maximale Durchbiegung ist der Funktionswert von b an der Stelle   L _ 2 b 2    L _ 2   3 =   q _  24·E·I  2  2    L _ 2   3 4 – 2L 2    L _ 2   3 3 + L 2 2    L _ 2   3 2   3 =   q _  24·E·I  ·  L 4 _ 16 =   q·L 4 __  384·E·I  . Für L = 3,8m und   q _  (E·I) = 0,008m ‒3 ergibt sich daher bei 1,9m eine maximale Durchbiegung von 0,0043m. C, D A, B A, B B B maximale Durchbiegung berechnen x[m] b (x) [m] L = 3,8m q b Nur zu Prüfzwec en – Eigentum des Verlags öbv